材料力学C(II)下册第三章

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1、第三章能量法§３-1概述§３-2应变能·余能§３-3卡氏定理§３-4用能量法解超静定问题的提出FABC30°45°Fl/2ACBl/2法一：利用几何、物理、静力学三方条件求解法二：利用外力功与应变能相等求解§3-1概述能量的观点讨论问题，是各门学科的一个共性的内容，能量无处不在；在力学分析中，能量的概念将力和变形（位移）作为一体讨论．第三章能量法图中AC和AB杆的直径分别是d1=12mm,d2=15mm，弹性模量均为E=210GPa。试求A点在铅垂方向的位移。x45o30oyA(b)F1A45o

2、30o2Dl1A'Dl2DAy(c)优点：不管中间过程，只算最终状态利用功和能的概念求解变形固体的位移、变形和内力的方法统称为能量法。能量法的应用很广，也是有限元法求解固体力学问题的重要基础。本章仅研究能量法中常用的一些原理和应用。上例若利用外力功在数值上等于应变能，即第三章能量法对于复杂结构的位移计算，采用从几何、物理关系和静力学关系三个方面入手的思想，或者从几何协调关系出发，显得非常麻烦.小前提：缓慢加载;外力做功，功只转成应变能（不转成动能、热能)§3–2应变能和余能大前提：1、小变形；2

3、、服从郑玄—胡克定律线弹性体的响应（内力、应力和变形）为外载的线性函数.第三章能量法恒力功:力作用于物体，力在其作用方向上发生位移，则该力对物体做了功变力功:I.功和应变能曲线与横轴围成的面积第三章能量法F1D1FDoD1F1FdD式中F——广义力(力或力偶)；——广义位移(线位移或角位移),在所有力共同作用下与广义力F相对应的沿着力的方向的广义位移。F在线弹性范围内第三章能量法FMe轴向拉压扭转弯曲FMe轴向拉压扭转弯曲应变能:外力做功系统储存的能量，W=Vε第三章能量法组合变形关于应变能

4、计算的讨论：1.以上计算公式仅适用于线弹性材料在小变形下的应变能的计算。2.应变能可以通过外力功计算，也可以通过杆件微段上的内力功等于微段的应变能，然后积分求得整个杆件上的应变能。应变能的大小与加载顺序无关.（能量守恒）3.应变能为内力（或外力）的二次函数，故叠加原理在应变能计算中不能使用。只有当杆件上任一载荷在其他载荷引起的位移上不做功时，才可应用。4.应变能是恒为正的标量，与坐标轴的选择无关，在杆系结构中，各杆可独立选取坐标系。第三章能量法单向应力状态纯剪切应力状态复杂应力状态s1s2s3t

5、s各式仅适用于线弹性范围应变能密度:单位体积内储存的能量，用vε表示非线弹性材料deseoe1s1s应变能密度应变能计算II.余功和余能余功与外力功之和等于矩形面积与余功相应的能称为余能,用Vc表示FFdF曲线与纵轴围成的面积第三章能量法线弹性材料应变能等于余应变能。例题图示等截面悬臂梁，E,I,A已知。在自由端受集中力F和集中力偶M作用。设材料是线弹性的，试计算梁的应变能。考虑两种不同的加载次序，略去剪力的影响.利用应变能密度三种方法利用外力功利用内力功FMl第三章能量法弯矩:第三章能量法

6、解:方法一FMlxF先加载M再加载方法二FMlx第三章能量法M先加载F再加载第三章能量法FMlxFMlxFlxMlx第三章能量法FMlxFlxMlx思考:第三章能量法例题原为水平位置的杆系如图所示，试计算在荷载F１作用下的应变能。两杆的弹性模量均为E,横截面面积均为A。解：首先分析力F和位移D之间的关系，求出F=f(D)的表达式。设两杆的轴力均为FN，两杆的伸长量和A点的位移分别为第三章能量法由结点A的平衡方程为小角度，第三章能量法由于所以或AFNFN例题试计算图示结构在荷载F1作用下的余能，结

7、构中两杆的长度均为l，横截面面积均为A,材料在单轴拉伸时的应力—应变曲线如图所示。解：由结点C的平衡方程，得杆的轴力横截面上的应力为第三章能量法由于轴向拉伸杆内各点应变状态均相同，因此，结构在荷载作用下的余能为余能密度为第三章能量法第三章能量法（1）由于力F引起的变形Dl，对FN产生影响，形成F和D的非线性关系，而应力和应变仍为线性关系——几何非　线性。当材料为非线性弹性体时，即应力与应变为非线性时——物理非线性。（2）几何非线性时，不能用求应变能，而只能用求应变能。杆的应变能为注意:F第三章

8、能量法一、功和应变能、余能利用应变能密度三种方法利用外力功利用内力功FdF余能线弹性二、卡氏第一定理弹性杆件的应变能对于构件上某一位移之变化率，就等于与该位移相应的荷载。第三章能量法组合变形时的应变能解：法一例题：简支梁受力如图所示，已知梁的刚度为EI，求梁的应变能。AFl/2BCl/2M法二AFl/2BCl/2MFAFBx1x2AC段CB段AFl/2BCl/2MFAFBx1x2qAB例题弯曲刚度为EI的简支梁受均布载荷q作用,如图所示,试求梁内的应变能.解:方法一:外力功梁的挠曲线方程为