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《材料力学(II)第三章1》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、第三章能量方法§3－1概述§3－2应变能·余能§3－3卡氏定理§3－4用能量法解超静定系统§3－5虚位移原理及单位力法1恒力功:功、能（应变能或变形能）1功:力作用于物体，力在其作用方向上发生位移，则该力对物体做了功变形功:2在线弹性范围内广义力广义位移轴向拉伸时外力做功扭转时外力做功弯曲时外力做功统一表示为3对于梁的弯曲，由于荷载形式的不同，外力功的表达形式也有所不同。如图在离左端a处有集中力F,该处梁的挠度为则外力的功则外力的功为45第三章能量方法§3－1概述图中AB和AC杆的直径分别是d1=12
2、mm,d2=15mm，弹性模量均为E=210GPa。试求A点在铅垂方向的位移。x45o30oyA(b)F1A45o30o2Dl1A'Dl2DAy(c)(a)若用解析法求解时，必须利用图c列出变形的几何关系，计算比较麻烦。6若利用外力功在数值上等于应变能，即利用功和能的概念求解变形固体的位移、变形和内力的方法统称为能量法。能量法的应用很广，也是有限元法求解固体力学问题的重要基础。有专门著作，例如胡海昌著《弹性力学的变分原理及应用》。本章仅研究能量法中常用的一些原理和应用。第三章能量方法就不需要用到变形几
3、何关系，计算较为简便。7(a)轴向拉（压）杆Ⅰ应变能第三章能量方法（1）线弹性体1.基本变形形式【材料力学（Ⅰ）】利用应变能在数值上等于外力功W，可得§3－2应变能·余能8(b)扭转第三章能量方法9(c)弯曲第三章能量方法纯弯曲横力弯曲10可以把应变能统一写成F为广义力，可以代表一个力,一个力偶,一对力或一对力偶等。D为广义位移，可以代表一个线位移,一个角位移,一对线位移或一对角位移等。第三章能量方法112.构件上有一组广义力共同作用令F=F1,wC=D1,Me=F2,qA=D2,则（）（）第三章能量
4、方法例CwCFEIABMel/2l/2qA,12Fi为广义力，Di为Fi的作用点沿Fi方向的广义位移，它是由所有广义力共同产生的。3.组合变形（用内力形式表示的应变能）M(x)—只产生弯曲转角第三章能量方法小变形时不计FS产生的应变能，FN(x)—只产生轴向线位移T(x)—只产生扭转角有n个广义力同时作用时13对于dx微段，FN(x),T(x),M(x)均为外力。略去高阶微量后，dx段的应变能为杆的应变能为第三章能量方法14(a)应变能是外力（内力）或位移的二次齐次式，产生同一种基本变形形式的一组外力
5、在杆内产生的应变能，不等于各力单独作用时产生的应变能之和。小变形时，产生不同变形形式的一组外力在杆内产生的应变能等于各力单独作用时产生的应变能之和。第三章能量方法4.应变能的特点:EAF2F1ab例F1F2Me可加不可加15(b)应变能的大小与加载顺序无关（能量守恒）F和Me同时作用在梁上，并按同一比例由零逐渐增加到最终值——简单加载。在线性弹性范围时，力和位移成正比，位移将按和力相同的比例，由零逐渐增加到最终值。第三章能量方法上图中CwCFEIABMel/2l/2qA,(a)16第三章能量方法先加F
6、,再加Me(图b，c)式中，为力F在由Me产生的C点处的挠度上作功，所以无系数。(b)CwC,FFEIABl/2l/2qA,F,cFEIABMel/2l/2wC,F(c),17还可以先加Me，再加F，得到的应变能和以上的值相同。第三章能量方法18因为是弹性体，所以应变能在数值上仍等于外力功，即，但必须注意以及的非线性关系，不能再用线弹性体的公式计算外力功。1.轴向拉伸与压缩第三章能量方法(2)非线性弹性体应变能为（3－1）（F－D曲线和D轴之间的面积）应变能密度为（s－e曲线和e轴之间的面积）（3－2
7、）19（1）（3-1）和（3-2）式中，分别是以D和e为自变量，，。所以为位移状态的函数。（2）因为，为非线性关系，（3-1）和（3-2）式积分后得不到1/2的系数，只能根据或的函数关系进行积分。应变能密度式中，为扭转力偶矩，为扭转角，为扭转切应力，为切应变。第三章能量方法注意：2.扭转应变能20式中，为外力偶矩，为弯曲转角，为正应力，为线应变。应变能密度应变能和应变能密度之间的关系为式中，V为体积。第三章能量方法3.梁应变能21例3－3原为水平位置的杆系如图a所示，试计算在荷载作用下的应变能。两杆的
8、弹性模量均为,横截面面积均为。解：分析力F和位移D之间的关系，求出F=f(D)的表达式。设两杆的轴力均为FN，两杆的伸长量为（1）第三章能量方法(a)22将（1）式代入上式得由结点A的平衡方程，得(2)为小角度，(4)第三章能量方法(3)由于所以A点的位移分别为(a)23将（5）式代入（2）式，得或写成（7）F和D的关系如图b所示。（5）第三章能量方法（6）将（4）式代入（3）式，得24（1）由于力F引起的变形，对产生影响，形成F和D的非线性关系，而应力
