建模讲座(三)初等模型-杨斌

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1、数学建模系列讲座（三）题目：初等模型主讲：杨斌(城市学院基础课部)主要内容：一、数学建模过程二、建立数学模型的方法和步骤三、模型的分类四、初等模型五、案例分析六、怎样学习数学建模一、数学建模过程现实对象的信息数学模型的解答现实对象的解答数学模型表述（归纳）求解（演绎）解释验证现实对象与数学模型的关系二、建立数学模型的方法和步骤1方法机理分析法：以经典数学为工具，分析其内部的机理规律。统计分析法：以随机数学为基础，经过对统计数据进行分析，得到其内在的规律。如：多元统计分析。系统分析法：对复杂性问题或主观性问题的研究方法。把定性的思维和结论用定量

2、的手段表示出来。如：层次分析法。2建模步骤模型准备模型假设模型建立模型求解模型分析模型检验模型应用1）模型准备：了解问题的实际背景，明确建模目的，掌握对象的各种信息如统计数据等，弄清实际对象的特征。有时需查资料或到有关单位了解情况等。2）模型假设：根据实际对象的特征和建模目的，对问题进行必要地合理地简化。不同的假设会得到不同的模型。如果假设过于简单可能会导致模型的失败或部分失败，于是应该修改或补充假设，如“四足动物的体重问题”；如果假设过于详细，试图把复杂的实际现象的各个因素都考虑进去，可能会陷入困境，无法进行下一步工作。分清问题的主要方面和

3、次要方面，抓主要因素，尽量将问题均匀化、线性化。3）模型建立：分清变量类型，恰当使用数学工具；抓住问题的本质，简化变量之间的关系；要有严密的数学推理，模型本身要正确；要有足够的精确度。4）模型求解：可以包括解方程、画图形、证明定理以及逻辑运算等。会用到传统的和近代的数学方法，计算机技术（编程或软件包）。特别地近似计算方法（泰勒级数，三角级数，二项式展开、代数近似、有效数字等）。6）模型检验：把模型分析的结果“翻译”回到实际对象中，用实际现象、数据等检验模型的合理性和适应性检验结果有三种情况：符合好，不好，阶段性和部分性符合好。7）模型应用：应

4、用中可能发现新问题，需继续完善。5）模型分析：结果分析、数据分析。变量之间的依赖关系或稳定性态；数学预测；最优决策控制。三、模型的分类1）按变量的性质分：离散模型确定性模型线性模型单变量模型连续模型随机性模型非线性模型多变量模型2）按时间变化对模型的影响分静态模型参数定常模型动态模型参数时变模型3）按模型的应用领域（或所属学科）分人口模型、交通模型、生态模型、城镇规划模型、水资源模型、再生资源利用模型、污染模型、生物数学模型、医学数学模型、地质数学模型、数量经济学模型、数学社会学模型等。4）按建立模型的数学方法（或所属数学分支）分初等模型、几

5、何模型、线性代数模型、微分方程模型、图论模型、马氏链模型、运筹学模型等。5）按建模目的分描述性模型、分析模型、预报模型、优化模型、决策模型、控制模型等。6）按对模型结构的了解程度分白箱模型：其内在机理相当清楚的学科问题，包括力学、热学、电学等。灰箱模型：其内在机理尚不十分清楚的现象和问题，包括生态、气象、经济、交通等。黑箱模型：其内在机理（数量关系）很不清楚的现象，如生命科学、社会科学等。四、初等模型1、是指可以用初等数学的方法来构造和求解的模型。2、需要指出的是：衡量一个模型的优劣全在于它的应用效果，而不是采用了多么高深的数学方法。进一步说

6、，如果对于某个实际问题，我们用初等的方法和所谓高等的方法建立了两个模型，他们的应用效果相差无几，那么受到人们欢迎并采用的，一定是前者而非后者。五、案例分析（一）悬崖高度的估算（二）雨中行走问题（三）席位分配问题（一）崖高的估算假如你站在崖顶且身上带着一只具有跑表功能的计算器，你也许会出于好奇心想用扔下一块石头听回声的方法来估计山崖的高度，假定你能准确地测定时间，你又怎样来推算山崖的高度呢，请你分析一下这一问题。我有一只具有跑表功能的计算器。方法一假定空气阻力不计，可以直接利用自由落体运动的公式来计算。例如，设t=4秒，g=9.81米/秒2，则

7、可求得h≈78.5米。我学过微积分，我可以做得更好，呵呵。除去地球吸引力外，对石块下落影响最大的当属空气阻力。根据流体力学知识，此时可设空气阻力正比于石块下落的速度，阻力系数K为常数，因而，由牛顿第二定律可得：令k=K/m，解得代入初始条件v(0)=0，得c=－g/k，故有再积分一次，得：若设k=0.05并仍设t=4秒，则可求得h≈73.6米。听到回声再按跑表，计算得到的时间中包含了反应时间进一步深入考虑不妨设平均反应时间为0.1秒，假如仍设t=4秒，扣除反应时间后应为3.9秒，代入式①，求得h≈69.9米。①多测几次，取平均值再一步深入考虑

8、代入初始条件h(0)=0，得到计算山崖高度的公式：将e-kt用泰勒公式展开并令k→0+，即可得出前面不考虑空气阻力时的结果。还应考虑回声传回来所需要的时间。为此，令