高考数学二轮复习限时检测提速练17最值与范围问题

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1、限时检测提速练(十七)最值与范围问题A组1．如图，在矩形ABCD中，

2、AB

3、＝4，

4、AD

5、＝2，O为AB的中点，P，Q分别是AD和CD

6、AP

7、

8、DQ

9、x2y2上的点，且满足①

10、AD

11、＝

12、DC

13、，②直线AQ与BP的交点在椭圆E：a2＋b2＝1(a＞b＞0)上．(1)求椭圆E的方程；(2)设R为椭圆E的右顶点，M为椭圆E第一象限部分上一点，作MN垂直于y轴，垂足为N，求梯形ORMN面积的最大值．解：(1)设AQ与BP的交点为G(x，y)，P(－2，y1)，Q(x1,2)，由题可知，y1x1＋2y＝，＝2yy1，＝－，24x＋2x1＋2x－244y

14、x＋2从而有2－x＝y，2x2整理得4＋y＝1，即为椭圆E的方程．(2)由(1)知R(2,0)，设M(x0，y0)，12则y0＝24－x0，从而梯形ORMN的面积11224S＝2(2＋x0)y0＝4－x0＋x0，442令t＝2＋x0，则2＜t＜4，S＝14t3－t，－令u＝4t3，则u′＝12t2－4t34(3－t)，t＝t3434当t∈(2,3)时，u′＞0，u＝4t－t单调递增，当t∈(3,4)时，u′＜0，u＝4t－t单调递减，所以当t＝3时，u取得最大值，4则S也取得最大值，最大值为33．22：＋＝2．(2018·资阳三诊)已知A，A

15、为椭圆Exy1(a＞b＞0)的左、右顶点，

16、AA

17、12a2b2122＝22，离心率为2．(1)求椭圆E的方程；(2)设动点P(22，t)(t≠0)，记直线PA1，PA2与E的交点(不同于A1，A2)到x轴的距离分别为d1，d2，求d1d2的最大值．解：(1)由

18、A1A2

19、＝22得2a＝22，则a＝2．2222又由e＝2得，c＝1，所以b＝a－c＝1．2x2故椭圆E的方程为2＋y＝1．(2)不妨设t＞0.直线PA1的方程为x＝32ty－2，直线PA2的方程为x＝2ty＋2，设直线PA1，PA2与E的交点分别为M(x1，y1)，N(x2，y2)，3

20、2x＝ty－2，182122由得2＋x2t2y－ty＝0，2＋y＝1，6t可得y1＝t2＋9．2x＝ty＋2，22422又由x得2＋t2y＋ty＝0，2＋y＝1，－2t可得y2＝t2＋1．6t2t12t212则d1d2＝t2＋9×t2＋1＝t4＋10t2＋9＝t2＋9．＋10t2292因为t＋t2≥6，当且仅当t＝3取等号，所以t2＋129t2＋103≤4，即(d1d2)max＝3.当且仅当t＝±3取等号．4x2y223．(2018·石嘴山一模)已知椭圆E：a2＋b2＝1(a＞b＞0)过点1，标分别为(－1,0)，(1,0)．(

21、1)求E的方程；2，两个焦点的坐(1)若A，B，P(点P不与椭圆顶点重合)为E上的三个不同的点，O为坐标原点，且→OP＝OAOB→＋→，求AB所在直线与两坐标轴围成的三角形面积的最小值．1解：(1)由已知得c＝1,2a＝4＋2＋1＝22，2∴a＝2，b＝1，2x2则E的方程为2＋y＝1．2(2)设AB：x＝my＋t(m≠0)代入x＋y2＝12222得(m＋2)y＋2mty＋t－2＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，22mtt－2则y1＋y2＝－m2＋2，y1y2＝m2＋2，22Δ＝8(m＋2－t)，设P(x，y)，由→＝→＋→，得OPOA

22、OB2mty＝y1＋y2＝－m2＋，2x＝x＋x＝my＋t＋my＋t＝m(y＋y)＋2t＝4t，1221212m＋2∵点P在椭圆E上，216t24mt2∴m2＋2＋m2＋2＝1，224t2m2＋即m2＋2＝1，∴4t＝m＋2，t在x＝my＋t中，令y＝0，则x＝t，令x＝0，则y＝－．m11t21m2＋21212

23、xy2

24、＝×2

25、m

26、＝8×

27、m

28、＝8

29、m

30、＋

31、m

32、≥8×22＝4∴三角形面积S＝，当且仅当m2＝2，t2＝1时取得等号，此时Δ＝24＞0，∴所求三角形面积的最小值为2．44．(2018·河南联考)已知抛物线C：x2＝2py(p＞0)的焦点

33、为F，过F的直线l交抛物线C于点A，B，当直线l的倾斜角是45°时，AB的中垂线交y轴于点Q(0,5)．(1)求p的值；(2)以AB为直径的圆交x轴于点M，N，记劣弧MN的长度为S，当直线l绕F点旋转时，S求

34、AB

35、的最大值．pp2解：(1)F0，，当l的倾斜角为45°时，l的方程为y＝x＋，2设A(x1，y1)，B(x2，y2)，y＝x由p＋2，－得x22px－2p＝0，x2＝2pyx1＋x2＝2p，y1＋y2＝x1＋x2＋p＝3p，3得AB中点为Dp，2p，AB中垂线为y－32p＝－(x－p)，将x＝0代入得y＝5p＝5，∴p＝2．22

36、2(2)设l的方程为y＝kx＋1，代入x＝4y得x－4kx－4＝0，2

37、AB

38、＝y1＋y2＋2＝k(x1＋x