高考数学二轮复习限时检测提速练18定点定值与探索性问题

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1、限时检测提速练(十八)定点、定值与探索性问题A组21．(2018·威海三模)已知抛物线C：y＝2px(p＞0)的焦点F，直线y＝4与y轴的交点为P，与抛物线C的交点为Q，且

2、QF

3、＝2

4、PQ

5、．(1)求p的值；(2)已知点T(t，－2)为C上一点，M，N是C上异于点T的两点，且满足直线TM和直线，证明直线TN的斜率之和为－83MN恒过定点，并求出定点的坐标．p解：(1)设Q(x0,4)，由抛物线定义，

6、QF

7、＝x0＋，2pp2又

8、QF

9、＝2

10、PQ

11、，即2x0＝x0＋2，解得x0＝，p2将点Q，4代入抛物线方程，解得p＝4．2(2)由(1)知C的方程为y＝8x，1，所以

12、点T坐标为，－22设直线MN的方程为x＝my＋n，y21点M8，y1，Nx＝my＋n，2由y＝8x2y28，y2，2得y－8my－8n＝0，所以y1＋y2＝8m，y1y2＝－8n，y1＋2y2＋28822y所以kMT＋kNT＝11＋y21＝y1－2＋y2－28－28－2y1＋y2－32＝＝64m－328＝－，y1y2－y1＋y2＋4解得n＝m－1．－8n－16m＋43所以直线MN方程为x＋1＝m(y＋1)，恒过点(－1，－1)．x2y222．(2018·咸阳三模)已知椭圆C：a2＋b2＝1(a＞b＞0)经过点(2，1)，离心率为2．(1)求椭圆的方程；2

13、21212(2)过坐标原点作两条直线l1，l2，直线l1交椭圆于A，C，直线l2交椭圆于B，D，且12

14、AB

15、2＋

16、BC

17、2＋

18、CD

19、2＋

20、DA

21、2＝24，直线l，l的斜率分别为k，k，求证：kk为定值．(1)ec2，又a2b2c2解：＝a＝2＝＋，21将点(2，1)代入椭圆M方程a2＋b2＝1得到a＝2，b＝2，c＝2，x2y2所以椭圆M的方程为4＋2＝1．(2)证明：由对称性可知，四边形ABCD是平行四边形，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则C(－x1，－y1)，D(－x2，－y2)，x2x2y2222222由4＋2＝1，得y＝2－2，2222

22、AB

23、

24、＋

25、BC

26、＋

27、CD

28、＋

29、DA

30、＝2(

31、AB

32、＋

33、DA

34、)2＝2[(x1－x2)＋(y1－y2)＋(x1＋x2)＋(y1＋y2)]2222＝4(x1＋x2＋y1＋y2)x221x22x2＝41＋2－2＋x2＋2－2＝24，22所以x1＋x2＝4，xx2212y222－22－2221y2k1k2＝22＝22x1x2x1x2221224－x1＋x2＋x1x241＝22＝，x1x24221故k1k2为定值4．3．(2018·三湘名校联考)已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的离心率为3a为42，M，b焦点是12，0的抛物线上一点，H为直线y

35、＝－a上任一点，A，B分别为椭圆C的上，下顶点，且A，B，H三点的连线可以构成三角形．(1)求椭圆C的方程；(2)直线HA，HB与椭圆C的另一交点分别交于点D，E，求证：直线DE过定点．c32＝，a(1)解：由题意知，b2＝2×a，4a＝2，解得b＝1，c＝3.222a＝b＋c2x2∴椭圆C的方程为4＋y＝1．(2)证明：设点H(m，－2)(m≠0)，易知A(0,1)，B(0，－1)，3m∴直线HA的方程为y＝－x＋1，直线HB的方程为y＝－1x－1．my＝－3mx＋1，36224x联立22得m2＋1x－x＝0，m4＋y＝124mm2－36∴xD＝m2＋

36、36，yD＝m2＋36，22－8m4－mm同理可得xE＝，yE＝m＋44＋2，2∴直线DE的斜率为k＝m－1216m，4－mm2－128m2m∴直线DE的方程为y－4＋2＝x＋2，16mm＋42即y＝m－12116mx－，21∴直线DE过定点0，－2．x2y24．(2018·南充三模)已知椭圆C：a2＋b2＝1(a＞b＞0)的左焦点F(－2，0)左顶点A1(－4,0)．(1)求椭圆C的方程；(2)已知P(2,3)，Q(2，－3)是椭圆上的两点，A，B是椭圆上位于直线PQ两侧的动点．若∠APQ＝∠BPQ，试问直线AB的斜率是否为定值？请说明理由．222222

37、解：(1)由题意可得，a＝4，c＝2,由a＝b＋c，得b＝4－2＝12．22xy所以椭圆C的方程为16＋12＝1．(2)当∠APQ＝∠BPQ时，AP，BP的斜率之和为0，设直线PA的斜率为k，则直线PB的斜率为－k，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，PA的方程为y－3＝k(x－2)．y－3＝kx－，22联立xy消y得16＋12＝12222(3＋4k)x＋8(3k－2k)x＋4(4k＋9－12k)－48＝0．所以2＋x1＝8kk－3＋4k2.同理2＋x2＝8kk＋3＋4k2．16k2－12－48k所以x1＋x2＝3＋4k2，x