《成才之路》高二数学人教b版选修2-2练习：222反证法含解析

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1、第二章2.2第2课时一、选择题1.设。、b、c都是正数，则三个数q+、b+、c+^（）A.都大于2B.至少有一个大于2C.至少有一个不小于2D.至少有一个不人于2［答案］C［解析］a+T+b+-+c+—=a+~+b+g+c+_N2+2+2=6.故选C.ocaaoc2.界而直线在同一个平而的射影不可能是（）B.两条相交直线D.同一条直线A.两条平行直线C.一点与一直线［答案］D［解析］举反例的方法如图正方体ABCD-ABCDX中力説与0G是两条异面直线，它们在平面ABCD内的射影分别是点/和直线BC,故排除C;与伤G是两条异面直线，它们在平面ABCD内的射影分别是直线和BC,故排除B;3

2、/与CQ是两条异面直线，它们在平面MCD内的射影分别是直线M和CD,故排除A做选D.3.已知兀、jeR,且%2+/=1,则（1一劝（1+秒）有（）3A.最小值寸，而无最大值B.最小值1,而无最大值A.最小值和最大值1B.最大值1和最小值扌［答案］D［解析］设x=cosa,y=since,则(1-xy)(l+xy)22=(1一sinacosa)(1+sinacosa)=1一sirTacosd103=1-”sirr2u€［才，1］.1.用反证法证明命题“如果a>b>0,那么a2>b2ff时，假设的内容应是（）B.a2

3、a,b,c满足a+2b+c=2,贝U()A.a,b,c都是正数B.a,b,c都人于1C.a,b,c都小于2D.a,b,c至少有一个不小于［答案］D［解析］3.“M不是N的子集”的充分必耍条件是（）A.若x^M则MNB.若xGN则xWMC.存在又存在X2WMF氏ND.存在兀oGM年N［答案］D［解析］按定义，若M是N的子集，则集合M的任一个元素都是集合N的元素.所以,要使M不是N的子集，只需存在x^M但勺年N.选D.7・设a、b、cWR_,P=a+b~c,Q=b+c~afR=c+a~hf则“PQR>0”是“P、Q、R同时人于零”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件A.既不充分

4、也不必要条件［答案］C［解析］首先若只Q、R同时大于零，则必有尸0尺>0成立.其次，若PQR>0,且尸、0、人不都大于0,则必有两个为负，不妨设卩<0,0<0,即g+方_尺0,b+c-avo,.••X0与肛R+矛盾，故P、0、7?都大于0.故选C.8.用反证法证明某命题时，对其结论：“日然数久b、c屮恰有一个偶数”正确的反设为()A.a、b、C都是奇数B.G、b、C都是偶数C.a、b、c中至少有两个偶数D.a、b、c中至少有两个偶数或都是奇数［答案］D［解析］“自然数a、b、c中恰有一个偶数”即°、b、c中有两奇一偶，故其反面应为都是奇数或两偶一奇或都是偶数，故选D.二、填空题9.设/(x)

5、=x2+ax+/?,求证：卩(1)、］/(2)、］/(3)中至少有一个不小于.用反证法证明此题时应假设.［答案］如)、1/(2)、］/(3)都小于10.完成反证法证题的全过程.题目：设Q1，。2，…，如是1,2，…，7的一个排列.求证：乘积〃=(G］—1)@2—2)・・・仙一7)为偶数.证明：反设0为奇数，则均为奇数.①因奇数个奇数Z和为奇数，故有奇数=②=③=0.［答案］①％—1,如―2，…，a7~7②(⑷一l)+(°2—2)+・・・+(的一7)③(ai+^2口7)—(1+2+37)11.设实数a、b、c满足a+b+c=,则a、b、c中至少有一个数不小于.［答案］［解析］假设Q、b、c都

6、小于则a+b+c<.故a、〃、c中至少有一个数不小于三、解答题8.求证：若x,yfz均为实数，.H.a=4y—x2~^fb=4z——乎，c=4x—z2—2n,求证：a,b,c屮至少有一个小于零.［证明］假设a,b,c都不小于零，则Q+b+C$O.所以a+b+c=(4y-x2-乎)+(4z~y"~誓)+(4.v-z2-2n)=-［(x-2)2+(y_2)2+(z_2)2］-4tc+12N0.因为-［(x-2)2+(y—2尸+(z—2)2］W0,所以—4兀+12M0,即4兀W12,这与基本事实4兀>12矛盾.故a,b,c中至少有一个小于零.〒能”握升0一、选择题1.实数d，b,C不全为0的含义

7、是()A.a,b,c均不为0B.a,b,c中至多有一个为0C.a,b,c中至少冇一个为0D.ci,b,c屮至少有一个不为0［答案］D［解析］“不全为0”即“至少有一个不为0”・2.用反证法证明命题“设a,b为实数,贝U方程x3+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是()A.方程x+ax+h=0没冇实根B.方程x'+ax+b=0至多有一个实根C.方程x+ax+h=0至多有两个实根D.方程x3+ax+b=0