数学模型论文易懂

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1、数学模型论文易懂数学模型论文题LI：在超市购物时你注意到人包装商品比小包装商品史便宜这种现象了吗。比如洁银牙膏50g装的每支1.50元，120百装的每支3.0元，二者单位重量的价格比是1.2：10使用比例方法构造模型解释这个现彖。（1）分析商品价格C与商品重量w的关系。价格由生产成本、包装成本和其它成本等决定，这些成本中有的与重量w成正比，有的与表面积成正比，还有与w无关系的因素。（2）给出单位重量价格c与w的关系，画岀它的见图，说明w越大c越小，但是随着W的增加C减小的程度变小，解禅实际意义是什么。针对此问题，木小组成员首先考虑商

2、品价格的组成，得出冇关商品价格表示的四个模型，如下：模型一：商品价格c=k（生产成本+包装成木+其它成本），其中，k为一个定值。但由题意对知，商品价格和成木并不成正比关系，因此此模型不正确。模型二模型假设：1）生产讥克的牙膏，花费的总的成木是皿元，出售的价格为C元。2）生产Alwl克的牙膏，花费的总的成本是M2元，出售的价格为A2C元。3）生产牙膏的总成木二生产成木+包装成木+其它成木，其屮生产成木主要与商品重量w成正比，包装成本与商品表面积s成正比，其它成本Q略记为与w、s无关，模型建立:问题（1）的分析：当超市小不同巫量的牙膏按

3、照所标价格出售后，至少只要单位重量的牙膏出售后所获得利润相等，那么题给模型就能解释。则曲模型假设可列得如下关系式:(C-M1)/W1=(A2C-M2)/A1W1-*C-M1=(A2C-M2)/A1-*(C-M1)A1=(A2C-M2)->M2-M1A1=(A2-A1)C->C=(M2-M1A1)/(A2-A1)①此为商品岀售价格的表达式。由模型假设3)可以得岀成木计算公式：总成本M=Klw+K2s+Q②又，考虑到商品重量与商品包装的表面积不成正比，实际中，商品包装的表面积增加的速度应该随着巫量的增加逐渐减小，所以町以假设商品巫量与其

4、包装的农而积成对数关系，即:S=logw1b,则总的成本可以表示为：w1bM=Klw+K21og+Q③1将③带入①得:C=(M2-M1A1)/(A2-A1)C=((Klw2+K21ogwb21+Q)-(Klwl+K21ogwbwb2wllbwllb+Q)Al)/(A2-Al))+(Q-AlQ)/(A2-A1))+(Q-A1Q))/(A2-A1)=((Klw2-KlAlwl)+(K21og1-K21og1=((KlAlwl-KlAlwl)+(K21og=((K21ogwb22-K21ogwllb1-K21ogwllb)+(Q-A1Q)

5、)/(A2-A1)④此为商品价格C与商品重量w的关系.模型三：建模及问题(1)的分析：考虑到商品的价格主耍由牛产商品的所冇成木及所获得的利润来决疋，即商品价格二成木+利润；根据题目可知，在理想条件情况F可以认为：生产成木仅与牙膏重量有关，且成正比关系，即klw；包装成本仅与表而积有关月.成正比，即k2S；另外假设每克商品所获得的利润为定值P，则W克商品所获利润为wp；英它方面的成木为Q>0,且Q与w、s均无关系。那么可得：商品价格C二klw+k2S+Q+wp.其中，由于表面积S随商品重量w的增加而増加，但增加速度逐渐变慢，故可将其两

6、者之间的关系近似为指数关系，并设Slog所以C(klp)wk21og故单位重量的商品的价格为cCwwlbwlb，其中b为常数且b>l.Q；k2wQw(klp)logwlb()此为商品价格C与商品重量w的关系.问题(2)的分析：对()式进行求导，可得：Ck2w2logwlbk2w(w1)lnblQw21)lnbwk21n(w1)1Q[]2()wlnb(w由于In(w1)wlnb(wl)lnbl(w1)ln(w1)ww(w1)lnb口•通常v较大，所以ln（w1)ln(wl)wlnb(w1)lnb(w1)ln(w1)ww(w1)lnb

7、0,2所以cOo说明c是w的减函数.对。即（）式进行求导，得:2k2w3logwlbk2w(w1)lnb2k2(2wl)w(wl)lnb222Qw3,整理得：c2w121nbKlogw1Qk3w22w2b23w12,可知，c>0,即：说明此曲线是凹lnb的形状.因此，由c0和c>0即可说明，此曲线是单调递减的凹函数，即：说明大包装比小包装的商品便宜，W越大C越小，但是随着W的增加C减小的程度变小，曲线的犬致形状如下图所示.模型四：建模及问题（1）的分析：依上述模型的思想，考虑到表面积S随商品重量W的增加而增加，但增加速度逐渐变慢，则

8、，可将S表示成如下形式:Sw1，其屮为常数且01.所以C=（kl+p）w+k2（w1）+Q；故单位重量的商品的价格为c问题（2）的分析：对（）式进行求导，可得：k2wCwP）(klk2w(w1)Qw()c1)k2ww1Qw2()対上面