自学考试-高等数学(工本)自考题模拟13

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1、高等数学(工本)自考题模拟13一、单项选择题(在每小题列出的四个选项中只有一个是符合题冃要求的•)1、微分方程(y,r)4+2(yr)5=x2+x3的阶数是()A・5B・4C・3D・22、y"=sin(-x)的通解为()A.sin(-x)B・-sin(-x)+C1X+C2C.-sin(-x)D・sin(-x)+C1X+C23、微分方程注也-(2y+xysinx)dy=(^()A.可分离变量微分方程B.一阶线性齐次微分方程C.一阶线性非齐次微分方程D.齐次微分方程下列命题中正确的是(若kl若□A.B.C.D.gSI收敛，则Ilimu^

2、H0若忖-g,贝IjZslimVIN若收敛，则必有LS必收敛2仏+都发散，则必发散宀

3、必发散r<15、幕级数x+2x2+3x3+...+nxn+...的收敛区域为()A・[—I,1]B・(一丄,1)C・(-1,1]D.[-1,1)二、填空题，jcdy=(工+艺+6、微分方程王的通解为7、方程2y"+y「-y=2x的一个特解是S8、幕级数"T才(弄+1)5+2)的收敛半径为9、幕级数J+X在处展开式为10^设函数f(x)=x2(-n

4、"-y/-2y=0的通解.求方程y”+(y，)2=0满足初始条件'“=2+r-t求方程xy"=y，的通解.求方程y”-4y，+4y=0的通解.求方程y"+2y，+2y=0的通解.的敛散性.5S是绝对收敛.另比S(—lr已知级数川=

5、收敛，证明级数”1证明级数卄】]讥”十1)的收敛性，并求其和.应用通项求导或逐项积分，求下列幕级数的和函数.(2)x2+2x3+3x4+...+nxn+1+....■卜•孕■求函数1+2x—3jc2在x=0处的幕级数展开式.求函数f(x)=x3-2x2+4x+1在x=l处的泰勒展开式.判断级数3+2/的敛

6、散性.综合题求y"-2y1-3y=xex的通解.24、将f(x)=ex2在x=0处展开为幕级数,25、将函数f(x)=2x(-nD［解析］本题考查微分方程的阶.2、B［解析］木题考查高阶微分方程的通解.［要点透析］对方程两边积分得y,=cos(-x)+Ci，对方程两边积分得y=-sin(-x)+C1X+C2，即为原方程的通解.3^A［解析］本题考查区分一阶微分方程的不同形式.4、C［解析］本题考查数项级数的审敛.［要点透析］可用排除法，A选项对于交错级数不成立；对于B选项，若Ji—1

7、5、N8=]+1+1+•*+】+•"■■—]一]一I+…+(—1)十…■7,则1"•・3艺(％+%)=0与尸】都发散，但收敛，故B选项错误；对于D选项，当*•>收敛时,丁zI二广仃町能为1,故D选项错误；则选c・5、B［解析］木题考查幕级数的收敛区间.R=lim［要点透析］收敛半径L"此时幕级数发散•而当时,为(一1，1)・二.填空题呢命=1,又因为当泊邛寸，幕级数为1+2+3+++...,幕级数化为-l+2-3+,..+(-l)nn+...：此时幕级数发散,故收敛区域arctan—=hxr•卜C［解析］本题考查齐次方程和分离变量.

8、鱼=1十止十2［要点透析］原方程可化为日壬.T令工，贝!jy=ux,dtt才石(工+1)+的幕级数展开式为e1+x=l+（彳十~2!~（工+1）”分离变量积分得・7^7=［吒―上1+"J工，arctanu=lnx+C.将工代入处原方程的通解为故arctan—=Jn.r■卜C.7y9=-2x-2［解析］本题考查f(x)=eAxPm(x)型.［要点透析］方程2y"+y~y=2x对应的齐次方程为2y"+yr-y=0・其特征方程吴J2入J入一丄=0,、辰=有解Z得入i=-i,2.原方程的非齐次项f(x)=eXxPm(x)(其中入=0,m=l

9、),

10、(ljX=0不是其特征方程的解，故令其特解为y*=box+b：L则y*'=bo,y*"=0.代入原方程得bo-(b()x+bi)=2x故得b°=-2,bi=-2,于是原微分方程的一个特解为y*=-2x-2.8、［解析］本题考查幕级数的收敛半径.a歼=limII—1［要点透析］设S+l)S+2),则…小轴I,故收敛半径为1・-】+Q++'匚主」丫+•••+［"£「+…9、2!丹！TTn=］亠工+…十亠+…故在x=_l处［解析］b在x=o处的幕级数展开式为•2!”！10>［解析］本题考查傅里叶系数.1p.2俶=—,rcos2xdj

11、r=一=L［要点透析］玄」電丸几三、计算题口、［考点点击］本题考查二阶常系数线性微分方程(有两个不同的特征根).［耍点透析］yn-yr-2y=0的特征方程为r2-r-2=0.故其特征根为ri=2,r2=-1.故所求通解为y=C1e2x