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1、、引言在工程领域里，在进行系统分析和设计时，首先要建立系统的数学模型，不同的领域建立的数学模型不同，也就是数学方程式的形式不同，自然求解方法（或算法）也不同。在电路系统的分析和设计中，在进行交流小信号分析时，所列的方程是线性代数方程，可以采用高斯消元法或LU分解法；对于直流非线性分析，所列方程是非线性代数方程，可以采用牛顿-拉夫森方法迭代求解；瞬态分析，所列方程是常微分方程，一般采用变步长隐式积分法求解等等。例如在电路的直流分析中，电容开路，电感短路，计算电路的静态工作点。在交流小信号分析中，电路也先要进行直流分析，
2、以确定半导体器件的跨导等小信号参数。在瞬态分析中，需求出电路在指定时间区间上的解，这时电路的方程是常微分方程，求解常微分方程必须先求出电路储能元件上的初始电流或电压值，这也由直流分析来完成。线性电路的直流分析所建立的方程是线性代数方程组。对于建立电路线性代数方程组的方法可以应用节点法或改进节点法，也可以采用表矩阵法和双图法，这些方法都可以利用计算机自动建立。如果我们建立好了电路的代数方程组AX=B,一般可以利用高斯消去法和LU分解法来解方程组。实际上对于稍大些的电路（n>40）,建立的矩阵A是个稀疏矩阵，矩阵含有大量
3、的零元素。并口电路系数矩阵A屮的各元索的数值相差悬殊，可能达到10的8次方量级以上。这时候一般采用全选主元的高斯-约旦消去法来求解系数矩阵为稀疏矩阵的大型方程组。二、解法1、咼斯消去法的基木思想一•般形式的线性方程组为：切玄1+a22x2+…+a2nxn=b2厲1丫1+色£+-+%卩=乞通常用向量矩阵表示，则上述方程可写成Ax=b（1）aa2nX]X。■■,b=b2%并记做x,beRnt分别表示A为nxn阶实矩阵,x、b为n维实向量,Gauss消去法就是将方程组（1）通过5-1）步消元，将（1）转化为上三角方程组
4、一/i⑴,1)z/1厂a\°(12)aX]—附]z/2)…ZT<2)a22a2n■••■X.—■■—••■■(«)aLnn」■■e_(2)再回代求此方程组的解。下面记增广矩阵L1」匚
5、即[/⑴b⑴]=苗)■•■an…雄)…■•■少ulw/)u2w■■■皤[b?■■■an,)…an2/)nna⑴/=_93...第1步设切工°计算％记为zi=（%>Ai）r,若用U乘W⑴2：第一行加到第i行，可消去如°一2,3,…'），用变换矩阵表示厶二/+尿,£；*=/一尿.令锐⑴
6、b⑴］二础/⑴
7、b⑴］=［中⑴
8、甲b⑴］其中4
9、"=-般地，假定已完成了（k-1）步消元，即已将［/⑴2⑴］转化为以下形式:龙）疋）…€於？…■■■■(2)a'u2n■■••醴)■■■川)■■■於)•■■■丿）•卜⑴严=第k步,假定4；）工0，计算记L=（o,…，o，/"，…儿）丁厶=则凶3
10、沖"［氏£）
11、氏严］。其中[b严“=曙_1』化i=k+l…'(4)反复进行上述过程，经过n・l步消元，贝IJ可得到即方程（2）o直接回代（1）2,…1二竽，甘肋一乞砧形）/啪,―,a9mJ-k^综上所述，高斯消去法分为消元过程与回代过程，消元过程将所给方程组加工成上三也形方
12、程组，再经回代过程求解。2、列主元索消去法首先，在"“⑴二时）中的第一列选主元,即I%*器硏"行为主元。若人＞1,将M⑴
13、0］的笫A行与笫一行互换，再按消元公式计算得到［/⑴&讨。假定上述过程已进行（kJ）步，得到弾）1代］。第k步，在八屮第k列选主元，时乍廳席，若则［护
14、严］中将L与k行互换（若“上则不动），再按公式⑶、⑷求出［严）严）］。对k=l,2,……n-1,重复以上过程则得［d”）
15、/”）］,如果某个k出现主元如果某个k出现主元I1=0（或QO）,方程没有唯一解或严重病态，否则可由（5）求得解。3、全选主元
16、高斯一约旦消去法除列主元消去法外，述有一种消去法，是在A的所有元素竹）屮选主元，称为全主元高斯-约旦消去法。它是一种在整个系数短阵中选取主元的消去法。高斯■约旦法（全选主元）求解线性代数方程纽的步骤如下：首先，对于k从0到n・l作如下运算：全选主元从笫k行、第k列开始的右下角子阵中选取绝对■值最大的元索，并记住次元素所在的行号和列号，在通过行交换和列交换将它交换到主元素位置上。系数矩阵归一化a(k,丿)/agk)ta(kj)j二£+1,…_1;常数向量归一化tb(k,j)j=0丄…昇〃-1;系数矩阵消元ta(ij)i
17、=0,1，.，疋一1,斤+1昇5—1;丿=k+1,…,M—1常数向量消元b⑴-a(i,k)b(k)tb(i)i=0」，…裁一1,£+1,…少一1;丿=0<--,m-1最后，根据在全选主元过程中所记录的行、列交换的信息进行恢复，恢复的原则如下，在全选主元过程中，先交换的行(列)后进行恢复；原来的行(列)交换用列(行)交换来恢复。三、结论及思考实际
