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1、、引言在工程领域里,在进行系统分析和设计时,首先要建立系统的数学模型,不同的领域建立的数学模型不同,也就是数学方程式的形式不同,自然求解方法(或算法)也不同。在电路系统的分析和设计中,在进行交流小信号分析时,所列的方程是线性代数方程,可以采用高斯消元法或LU分解法;对于直流非线性分析,所列方程是非线性代数方程,可以采用牛顿-拉夫森方法迭代求解;瞬态分析,所列方程是常微分方程,一般采用变步长隐式积分法求解等等。例如在电路的直流分析中,电容开路,电感短路,计算电路的静态工作点。在交流小信号分析中,电路也先要进行直流分析,
2、以确定半导体器件的跨导等小信号参数。在瞬态分析中,需求出电路在指定时间区间上的解,这时电路的方程是常微分方程,求解常微分方程必须先求出电路储能元件上的初始电流或电压值,这也由直流分析来完成。线性电路的直流分析所建立的方程是线性代数方程组。对于建立电路线性代数方程组的方法可以应用节点法或改进节点法,也可以采用表矩阵法和双图法,这些方法都可以利用计算机自动建立。如果我们建立好了电路的代数方程组AX=B,一般可以利用高斯消去法和LU分解法来解方程组。实际上对于稍大些的电路(n>40),建立的矩阵A是个稀疏矩阵,矩阵含有大量
3、的零元素。并口电路系数矩阵A屮的各元索的数值相差悬殊,可能达到10的8次方量级以上。这时候一般采用全选主元的高斯-约旦消去法来求解系数矩阵为稀疏矩阵的大型方程组。二、解法1、咼斯消去法的基木思想一•般形式的线性方程组为:切玄1+a22x2+…+a2nxn=b2厲1丫1+色£+-+%卩=乞通常用向量矩阵表示,则上述方程可写成Ax=b(1)aa2nX]X。■■,b=b2%并记做x,beRnt分别表示A为nxn阶实矩阵,x、b为n维实向量,Gauss消去法就是将方程组(1)通过5-1)步消元,将(1)转化为上三角方程组
4、一/i⑴,1)z/1厂a\°(12)aX]—附]z/2)…ZT<2)a22a2n■••■X.—■■—••■■(«)aLnn」■■e_(2)再回代求此方程组的解。下面记增广矩阵L1」匚
5、即[/⑴b⑴]=苗)■•■an…雄)…■•■少ulw/)u2w■■■皤[b?■■■an,)…an2/)nna⑴/=_93...第1步设切工°计算%记为zi=(%>Ai)r,若用U乘W⑴2:第一行加到第i行,可消去如°一2,3,…'),用变换矩阵表示厶二/+尿,£;*=/一尿.令锐⑴
6、b⑴]二础/⑴
7、b⑴]=[中⑴
8、甲b⑴]其中4
9、"=-般地,假定已完成了(k-1)步消元,即已将[/⑴2⑴]转化为以下形式:龙)疋)…€於?…■■■■(2)a'u2n■■••醴)■■■川)■■■於)•■■■丿)•卜⑴严=第k步,假定4;)工0,计算记L=(o,…,o,/",…儿)丁厶=则凶3
10、沖"[氏£)
11、氏严]。其中[b严“=曙_1』化i=k+l…'(4)反复进行上述过程,经过n・l步消元,贝IJ可得到即方程(2)o直接回代(1)2,…1二竽,甘肋一乞砧形)/啪,―,a9mJ-k^综上所述,高斯消去法分为消元过程与回代过程,消元过程将所给方程组加工成上三也形方
12、程组,再经回代过程求解。2、列主元索消去法首先,在"“⑴二时)中的第一列选主元,即I%*器硏"行为主元。若人>1,将M⑴
13、0]的笫A行与笫一行互换,再按消元公式计算得到[/⑴&讨。假定上述过程已进行(kJ)步,得到弾)1代]。第k步,在八屮第k列选主元,时乍廳席,若则[护
14、严]中将L与k行互换(若“上则不动),再按公式⑶、⑷求出[严)严)]。对k=l,2,……n-1,重复以上过程则得[d”)
15、/”)],如果某个k出现主元如果某个k出现主元I1=0(或QO),方程没有唯一解或严重病态,否则可由(5)求得解。3、全选主元
16、高斯一约旦消去法除列主元消去法外,述有一种消去法,是在A的所有元素竹)屮选主元,称为全主元高斯-约旦消去法。它是一种在整个系数短阵中选取主元的消去法。高斯■约旦法(全选主元)求解线性代数方程纽的步骤如下:首先,对于k从0到n・l作如下运算:全选主元从笫k行、第k列开始的右下角子阵中选取绝对■值最大的元索,并记住次元素所在的行号和列号,在通过行交换和列交换将它交换到主元素位置上。系数矩阵归一化a(k,丿)/agk)ta(kj)j二£+1,…_1;常数向量归一化tb(k,j)j=0丄…昇〃-1;系数矩阵消元ta(ij)i
17、=0,1,.,疋一1,斤+1昇5—1;丿=k+1,…,M—1常数向量消元b⑴-a(i,k)b(k)tb(i)i=0」,…裁一1,£+1,…少一1;丿=0<--,m-1最后,根据在全选主元过程中所记录的行、列交换的信息进行恢复,恢复的原则如下,在全选主元过程中,先交换的行(列)后进行恢复;原来的行(列)交换用列(行)交换来恢复。三、结论及思考实际