【毕业论文】浅谈数值逼近

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1、浅谈数值逼近摘要：木文简耍的谈论了数值逼近思想中的极限思想，二分逼近思想及逐次逼近思想，同时说明了它在生活中的一些运用.关键词：数值逼近；极限；二分逼近；逐次逼近引言逼近法是数学分析中贯穿全局的基本方法，它不完全等同于近似，它是一个过程•它遵循着这样一个简朴实用的原则：以简御繁以“已知”去研讨“未知”.逼近无论在理论上还是在实践中都有重要的意义•但逼近的思想和方法在某些方面还没达到成熟，一•些领域如倒数逼近尚需进一步的探索•在此，我对逼近理论中一些较成熟的方法及其运用做了一个初步的探索.作为一个分析论证方法，逼近法是简朴实用原则的具体化、数量化•他的应用是广泛而多样的•

2、现在来介绍它在数值逼近方面的一•些运用.1:数值逼近思想在极限中的运用定义一：当n趋于时，若匕逼近于一个定数a,则｛勺｝的极限等于a.数列｛%｝以a为极限，具意即为用卩卫2,……J……去逐步逼近常数a.下面介绍一个典型的由两侧逼近求数列极限的例子.例1：(两边加逼定理)设lim/(x)=limg(x)=A,且在某U°(Xo；〃)有f(x)Wh(x)Wg(x)(1.1)则lim/?(x)=A.X®-VO证明：按假设，”e>o,分别$正数q和q,s.t.当ovix・x()ivq时有ev/(x),(1.2)当O

3、,q},则当OvIqx()l

4、数的连续性则确保了此数的存在，使这种逼近不至于“逼”空・现将二分逼近法典型证明方式说明于下：2」确定一个闭区间使其具有某一•性质Pl（尸由性质P而定）2.2将［人,即等分成［舛少色］与［人+件即,则至少有一个区间保持性质将保持P的区间定为［A2,B2］.2.3逐次二等分得到闭区间列｛［九,优」｝,则所有的闭区间都具有性质月，月.A儿……A”……Bm……b2B,（亦可写成（［£即缮［码场］［血BJ缮......［AmBm］……）从而得到左右夹逼数列｛九｝与｛Bm｝满足lim（册4,）=lim丄（3厂£）=0mm2也2.4由实数的连续性得到实数k,属于所有的闭区间，数k满

5、足2.4.1具有性质P.这是由于k属于所有的闭区间，被｛%｝与｛乞｝左右夹逼,不妨形象地表示为：A,,kB』n）.因而,k的任意小的邻域内伙・都包含［Am,Bm］（rn足够人），于是仗・就+◎具有性质F，故k具有性质P.2.4.2k是唯一的.事实上，若k不唯一，设L且满足kBm（m），则对任何m,k4,,W到「k?BmAm,TTOlim（Bm-4,）=0,故"G即唯一.m以下我们通过实例证明一为体会二分逼近法的思想及应用・例3：设在［a,b］上连续的单调递增函数f(x)满足f(a)va,f(b)>b,则存在cl(a,b),使f(c)=c.证明：令a=将［人,

6、即二等分，分点A*色,2若f(A±A)=A±A,则命题结论成立.22否则，若f(A±A)>A±A,Wij取［出』，即二［缶5］,222'--若f(则取二厲厲］•逐次二等分区间.222一般地对［化心］,若f(九+盅)=九+®，则命题结论成立，否则，若f(九；盅)>尤；®，则取［九；血,Bltl］=［Am+vBm+l］,若f(筈昱)<如尹，则取［%,俎尹］=［A,从而得到两个夹逼数列｛九｝与｛乞｝满足：(2-1)AA2……九……Bm……B2AJ=O.m(2.2)f(%)>九,f(E)vB〃.于是可知，存在实数c使九cBm(m)由于f(x)单增，所以f(4”)£f(c)£f(

7、B„,)即:4A”,f(B』vBm'从而得到夹逼数列｛%｝与｛乞｝.将c“逼出”•在不同问题的论证中性质P与相应的尸是具体的，不同的，必须紧扣实际加以明确，这是止确应用二分逼近法的关键.二分逼近法是微积分学屮许多基本定理证明的重要工具，是逼近法的最简明的形式之一，它在生活中有着非常广泛的运用，下面来看一个简单的实例，以体会二分逼近法给我们的生活带來的诸多便利.中央电视台“幸运5