（黄冈名师）高考数学核心素养提升练十五3.3利用导数研究函数的极值、最值理（含解析）新人教A版

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1、核心素养提升练十五　利用导数研究函数的极值、最值(30分钟　60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.已知函数f(x)=x3-x2+cx+d有极值,则c的取值范围为(　　)A.c【解析】选A.因为f(x)=x3-x2+cx+d,所以f′(x)=x2-x+c,要使f(x)有极值,则方程f′(x)=x2-x+c=0有两个实数解,从而Δ=1-4c>0,所以c<.2.已知函数y=f(x)的导函数y=f′(x)的图象如图所示,则f(x)(　　)A.既有极小值,也有极大值B.有极小值,但无极大值C.有极大值,但无极小值D.既无极小值,也无

2、极大值【解析】选B.由导函数图象可知,y=f′(x)在(-∞,x0)上为负,y=f′(x)在(x0,+∞)上非负,所以y=f(x)在(-∞,x0)上递减,在(x0,+∞)上递增,所以y=f(x)在x=x0处有极小值,无极大值.3.设动直线x=m与函数f(x)=x3,g(x)=lnx的图象分别交于点M,N,则

3、MN

4、的最小值为(　　)A.(1+ln3)B.ln3C.1+ln3D.ln3-1【解析】选A.设F(x)=f(x)-g(x)=x3-lnx,求导得:F′(x)=3x2-.令F′(x)>0得x>;令F′(x)<0得0

5、为F=+ln3=(1+ln3).4.若函数f(x)=e-x+tlnx有两个极值点,则实数t的取值范围是(　　)A.B.C.D.【解析】选A.f′(x)=-e-x+=0有两个正根,即t=xe-x有两个正根,令g(x)=xe-x,g′(x)=e-x-xe-x,当g′(x)>0时,x<1,故y=g(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,g(x)max=g(1)=,当x→+∞时,g(x)>0,所以t∈.5.(2019·南充模拟)若函数f(x)=x3+x2-ax-4在区间(-1,1)内恰有一个极值点,则实数a的取值范围为(　　)A.(1,5)B.[1

6、,5)C.(1,5]D.(-∞,1)∪(5,+∞)【解析】选B.由题意f′(x)=3x2+2x-a,函数开口向上,对称轴为x=-,若函数f(x)在区间(-1,1)内恰有一个极值点,则即解得1≤a<5.二、填空题(每小题5分,共15分)6.已知函数f(x)=aln2x+bx在x=1处取得最大值ln2-1,则a=________,b=________. 【解析】f′(x)=+b=(x>0),当f′(x)=0时,x=-,当x=1时,函数取得最大值ln2-1,即解得a=1,b=-1.答案:1　-17.(2018·珠海模拟)已知函数f(x)=5sinx-12cosx

7、,当x=x0时,f(x)有最大值13,则tanx0=______. 【解析】f(x)=5sinx-12cosx=13sin(x-θ)(cosθ=,sinθ=)当x=x0时f(x)有最大值13,所以x0-θ=+2kπ,k∈Z所以x0=θ++2kπ,tanx0=tan(θ++2kπ)=tan(θ+)===-.答案:-8.若函数f(x)=x3-3x在区间(a,6-a2)上有最小值,则实数a的取值范围是________. 【解析】若f′(x)=3x2-3=0,则x=±1,且x=1为函数的极小值点,x=-1为函数的极大值点.函数f(x)在区间(a,6-a2)上有最小

8、值,则函数f(x)的极小值点必在区间(a,6-a2)内,且左端点的函数值不小于f(1),即实数a满足a<1<6-a2且f(a)=a3-3a≥f(1)=-2.解a<1<6-a2,得-

9、1)因为f′(x)=,所以k=f′(1)=-2.又因为f(1)=e+2,所以切线方程为:y-(e+2)=-2(x-1),即2x+y-e-4=0.(2)令h(x)=ex(x-1)-2,则h′(x)=ex·x,所以x∈(-∞,0)时,h′(x)<0,x∈(0,+∞)时,h′(x)>0.当x∈(-∞,0)时,易知h(x)<0,所以f′(x)<0,f(x)在(-∞,0)上没有极值点.当x∈(0,+∞)时,因为h(1)=-2<0,h(2)=e2-2>0,所以f′(1)<0,f′(2)>0,f(x)在(1,2)上有极小值点.又因为h(x)在(0,+∞)上单调递增,所以

10、f(x)仅有唯一的极小值点.10.已知二次函数f(x)=x2+ax