（黄冈名师）高考数学核心素养提升练七十2参数方程理（含解析）新人教A版选修

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1、核心素养提升练七十　参数方程(30分钟　50分)1.(10分)已知直线l的参数方程为(t为参数),以坐标原点O为极点,以x轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C的方程为sinθ-ρcos2θ=0.(1)求曲线C的直角坐标方程.(2)写出直线l与曲线C交点的一个极坐标.【解析】(1)因为sinθ-ρcos2θ=0,ρsinθ-ρ2cos2θ=0,即y-x2=0.(2)将(t为参数),代入y-x2=0得,+t-=0,解得t=0.从而,交点坐标为(1,),所以,交点的一个极坐标为.2.(10分)(2018·安阳模拟)设直线l的参数方程为(t为参数),若以

2、直角坐标系xOy的原点O为极点,x轴的正半轴为极轴,选择相同的长度单位建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=4cosθ.(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程,并指出曲线C是什么曲线.(2)若直线l与曲线C交于A,B两点,求

3、AB

4、.【解析】(1)由于ρsin2θ=4cosθ,所以ρ2sin2θ=4ρcosθ,即y2=4x,因此曲线C表示顶点在原点,焦点在x轴上的抛物线.(2)(t为参数),化为普通方程为y=2x-1,代入y2=4x并整理得4x2-8x+1=0,设A(x1,y1),B(x2,y2)所以

5、AB

6、=

7、x2-x1

8、=·=×

9、=.3.(10分)(2018·成都模拟)在直角坐标系xOy中,圆C的参数方程为(α为参数),以坐标原点O为极点,以x轴正半轴为极轴,建立极坐标系.(1)写出圆C的极坐标方程及圆心C的极坐标.(2)直线l的极坐标方程为θ=(ρ∈R),与圆C交于M,N两点,求△CMN的面积.【解析】(1)极坐标(ρ,θ)与直角坐标(x,y)的对应关系为所以根据sin2α+cos2α=1,消元得+(ρsinθ-1)2=4,化简得ρ=4sin,因为圆心C的直角坐标为(,1),所以极坐标为,(2)联立得交点极坐标M(0,0),N,所以

10、MN

11、=2,

12、MC

13、=2,∠CMN=

14、-=,所以△CMN的面积=×2×2×sin=.4.(10分)(2018·玉溪模拟)已知曲线C的参数方程为(θ为参数),在同一平面直角坐标系中,将曲线C上的点按坐标变换得到曲线C′.(1)求曲线C′的普通方程.(2)若点A在曲线C′上,点B(3,0),当点A在曲线C′上运动时,求AB中点P的轨迹方程.【解析】(1)将(θ为参数),代入得C′的参数方程为(θ为参数),曲线C′的普通方程为x2+y2=1.(2)设P(x,y),A(x0,y0),又B(3,0),且AB中点为P,所以又点A在曲线C′上,所以代入C′得普通方程+=1,得(2x-3)2+(2y

15、)2=1,所以动点P的轨迹方程为+y2=.5.(10分)(2019·泰安模拟)在平面直角坐标系xOy中曲线C1过点P(a,1),其参数方程为(t为参数,a∈R),以O为极点,x轴非负半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ+4cosθ-ρ=0.(1)求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程.(2)已知曲线C1与曲线C2交于A,B两点,且

16、PA

17、=2

18、PB

19、,求实数a的值.【解析】(1)曲线C1的参数方程为(t为参数,a∈R),所以其普通方程为x-y-a+1=0,曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ+4cosθ-ρ=0,所以ρ

20、2cos2θ+4ρcosθ-ρ2=0,所以x2+4x-x2-y2=0,即曲线C2的直角坐标方程为y2=4x.(2)设A,B两点所对应参数分别为t1,t2,联立化简得2t2-2t+1-4a=0,要有两个不同的交点,则Δ=-4×2(1-4a)>0,即a>0,由根与系数的关系得根据参数方程的几何意义可知

21、PA

22、=2

23、t1

24、,

25、PB

26、=2

27、t2

28、,又由

29、PA

30、=2

31、PB

32、,可得2

33、t1

34、=2×2

35、t2

36、,即t1=2t2或t1=-2t2,所以当t1=2t2时,有t1+t2=3t2=,t1t2=2=,所以a=>0符合题意,当t1=-2t2时,有t1+t2=-

37、t2=,t1t2=-2=,所以a=>0符合题意,综上所述,实数a的值为或.