7.8无穷等比数列各项的和

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1、7.8无穷等比数列各项的和一、新课引入情境一：有人说，0.9<1，你认为对吗？如果你认为0.9<1，那么0.9比1小多少？能在0.9与1之间插入一个实数吗？又有人说，因为13=0.3，两边同乘以3，得1=0.9.你赞同哪种说法呢？情境二：如果把你家和学校看做两个点，这两点间的距离是1000米，从家出发你先走了500米，然后再走剩余路程500米中的一半即250米，再走剩余路程的一半即125米⋯⋯，照此下去，理论上来讲，你永远也到不了学校，正所谓“一尺之锤，日取其半，万世不竭”，而实际情况是，你早坐在了教室里上课，问题出现在哪里呢？情境三：芝诺悖

2、论阿基里斯是古希腊神话中善跑的英雄。如果有一只乌龟在阿基里斯前100米的地方，乌龟的速度是1米/秒，而阿基里斯的速度是10米/秒。注意到追者首先必须到达被追者的出发点，然而当阿基里斯跑至乌龟的出发点时，乌龟已经向前爬了10米，于是一个新的起点产生了，阿基里斯必须继续追，而当他追到乌龟爬的这10米时，乌龟又已经向前爬了1米，他只能再追向那个1米⋯⋯就这样，乌龟会制造出无数个起点，它总能在起点与自己之间制造出一个距离，不管这个距离有多小，但阿基里斯就是追不上乌龟！芝诺，古希腊数学家、哲学家，埃利亚学派代表人物，被亚里士多德誉为辩证法创始人。二、新

3、课导学1.温故：（1）对于无穷等比数列a1,a2,a3,⋯,an,⋯,通项公式：an=a1⋅qn-1前n项和公式Sn=a1+a2+⋯+an=na1(q=1)a1(1-qn）1-q(q≠1)（2）极限：当0

4、+⋯+0.9⋅0.1n-1+⋯而0.9，0.09，0.92，⋯，0.9n-1，⋯是以0.9为首项，0.1为公比的无穷等比数列，它的前n项和为Sn=0.91-0.1n1-0.1=1-0.1n.于是可把0.9看作Sn当n→∞时的极限，即0.9=limn→∞Sn=limn→∞(1-0.1n)=1因此，0.9=1.情景2：S=500+250+125+⋯+500⋅12n-1+⋯=limn→∞Sn2.知新：无穷等比数列各项的和符号：S=a1+a2+a3+⋯+an+⋯=limn→∞Sn显然：(1)q=1时，limn→∞Sn=limn→∞na1不存在；2q=

5、-1时,limn→∞Sn不存在；an是摆动数列；3q>1时，limn→∞Sn=limn→∞a1(1-qn)1-q不存在；40

6、别；无穷等比数列各项和S是其前n项的和Sn当n→∞时的极限，是用有限手段解决无限问题；（1）运用公式求和的前提：0

7、2）假设这个小球能无限次反弹，求小球在这次运动中所经过的总路程.第4页例4.在边长为1的正方形ABCD中，取AD、BC中点A1、B1，得矩形ABB1A1；取A1B1、DC中点A2、B2，得一小矩形A2B1CB2；再取A1D、A2B2中点A3、B3，得一小矩形A1A2B3A3；如此无限继续下去，求所有这些矩形的面积之和.例5.如图，这是一只蚂蚁的爬行路线，在直角坐标系中，由原点出发沿x轴向右前进一个单位到点P1，向上前进12个单位到点P2，再向左前进122个单位到点P3，又向下前进123个单位到点P4.以后的前进方向按向右、向上、向左、向下的顺

8、序，每次前进的距离为上一次前进距离的一半，这样无限下去，求蚂蚁爬行的极限位置的坐标.四、课堂小结今天我们共同探究，学到了哪些知识？你有哪些收获？1.无穷等比数列各项