一平行线等分线段定理

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1、一、选择题1．如图1－1－14，已知l1∥l2∥l3，AB，CD相交于l2上一点O，且AO＝OB，则下列结论中错误的是(　　)图1－1－14A．AC＝BDB．AE＝EDC．OC＝ODD．OD＝OB【解析】　由l1∥l2∥l3知AE＝ED，OC＝OD，由△AOC≌△BOD知AC＝BD，但OD与OB不能确定其大小关系．故选D.【答案】　D图1－1－152．(2013·信阳模拟)已知如图1－1－15，AE⊥EC，CE平分∠ACB，DE∥BC，则DE等于(　　)A．BC－ACB．AC－BFC.(AB－AC)D.(BC－AC)【解析】　由已知得CE是线段AF的垂直平分线．∴AC＝

2、FC，AE＝EF，∵DE∥BC，∴DE是△ABF的中位线．∴DE＝BF＝(BC－AC)．【答案】　D图1－1－163．如图1－1－16，AD是△ABC的高，E是AB的中点，EF⊥BC于F，若DC＝BD，则FC是BF的(　　)倍．A.　　　　　　　　B.C.D.【解析】　∵EF⊥BC，AD⊥BC，∴EF∥AD，又∵E为AB的中点，∴F是BD的中点，即BF＝DF.又∵DC＝BD，∴DC＝BF.∴FC＝FD＋DC＝BF＋DC＝BF.【答案】　A图1－1－174．如图1－1－17，在梯形ABCD中，E为AD的中点，EF∥AB，EF＝30cm，AC交EF于G，若FG－EG＝10c

3、m，则AB＝(　　)A．30cmB．40cmC．50cmD．60cm【解析】　由平行线等分线段定理及推论知，点G，F分别是线段AC，BC的中点，则EG＝DC，FG＝AB.∴，，解得.【答案】　B二、填空题图1－1－185．如图1－1－18所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝2，BC＝6，E，F分别为对角线BD、AC的中点，则EF＝________.【解析】　如图所示，过E作GE∥BC交BA于G.∵E是DB的中点，∴G是AB的中点，又F是AC的中点，∴GF∥BC，∴G，E，F三点共线，∴GE＝AD＝1，GF＝BC＝3，∴EF＝GF－GE＝3－1＝2.【答案】　2图1

4、－1－196．如图1－1－19，在△ABC中，E是AB的中点，EF∥BD交AC于F，EG∥AC交BD于G，CD＝AD，若EG＝5cm，则AC＝________；若BD＝20cm，则EF＝________.【解析】　∵E为AB的中点，EF∥BD，∴F为AD的中点．∵E为AB的中点，EG∥AC，∴G为BD的中点，若EG＝5cm，则AD＝10cm，又CD＝AD＝5cm，∴AC＝15cm.若BD＝20cm，则EF＝BD＝10cm.【答案】　15cm　10cm三、解答题图1－1－207．如图1－1－20，已知以梯形ABCD的对角线AC及腰AD为邻边作▱ACED，DC的延长线交BE

5、于F.求证：EF＝BF.【证明】　连接AE交DC于O，∵四边形ACED是平行四边形，∴O是AE的中点(平行四边形的对角线互相平分)．∵四边形ABCD是梯形，∴DC∥AB.在△EAB中，OF∥AB，O是AE的中点，∴F是EB的中点．∴EF＝BF.8．如图1－1－21所示，已知线段AB，求作线段AB的五等分点，并证明．图1－1－21【解】　作法：(1)作射线AC；(2)在射线AC上以任意取定的长度顺次截取AD1＝D1D2＝D2D3＝D3D4＝D4D5；(3)连接D5B；(4)分别过D1，D2，D3，D4作D5B的平行线D1A1，D2A2，D3A3，D4A4，分别交AB于点A

6、1，A2，A3，A4，则点A1，A2，A3，A4将线段AB五等分．证明：过点A作MN∥D5B.则MN∥D4A4∥D3A3∥D2A2∥D1A1∥D5B，∵AD1＝D1D2＝D2D3＝D3D4＝D4D5，∴AA1＝A1A2＝A2A3＝A3A4＝A4B.∴点A1，A2，A3，A4就是所求的线段AB的五等分点．9．用一张矩形纸，你能折出一个等边三角形吗？如图1－1－22(1)，先把矩形纸ABCD对折，设折痕为MN；再把B点叠在折痕线上，得到Rt△ABE，沿着EB线折叠，就能得到等边△EAF，如图(2)．想一想，为什么？图1－1－22【解】　利用平行线等分线段定理的推论2，∵N是

7、梯形ADCE的腰CD的中点，NP∥AD，∴P为EA的中点．∵在Rt△ABE中，PA＝PB(直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半)，∴∠1＝∠3.又∵PB∥AD，∴∠3＝∠2.∴∠1＝∠2.又∵∠1与和它重合的角相等，∴∠1＝∠2＝30°.在Rt△AEB中，∠AEB＝60°，∠1＋∠2＝60°，∴△AEF是等边三角形．10.如图所示，AE∥BF∥CG∥DH，AB＝BC＝CD，AE＝12，DH＝16，AH交BF于点M，求BM与CG的长．【解】　如图，取BC的中点P，作PQ∥DH交EH于点Q，则PQ是梯形ADHE的中位线．∵AE∥BF∥CG∥D