高中数学第三章函数的应用3.1函数与方程3.1.2用二分法求方程的近似解学案（含解析）新人教版

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1、3.1.2　用二分法求方程的近似解学习目标　1.了解二分法求方程近似解的步骤.2.能用二分法求出方程的近似解.知识点1　二分法的定义(1)满足的条件：在区间[a，b]上连续不断的函数y＝f(x)且在区间端点的函数值满足：f(a)f(b)<0.(2)操作过程：把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值.【预习评价】二分法求函数的零点的近似值适合于(　　)A.零点两侧函数值异号的函数B.零点两侧函数值同号的函数C.所有函数都适合D.所有函数都不适合解析　由函数零点存在性定理可知选A.答案　A知识点2　二分法求函数零

2、点近似值的步骤【预习评价】　(正确的打“√”，错误的打“×”)　(1)二分法所求出的方程的解都是近似解.(　　)(2)函数f(x)＝

3、x

4、可以用二分法求零点.(　　)(3)用二分法求函数零点的近似值时，每次等分区间后，零点必定在右侧区间内.(　　)提示　(1)×　如函数f(x)＝x－2用二分法求出的解就是精确解.(2)×　对于函数f(x)＝

5、x

6、，不存在区间(a，b)，使f(a)·f(b)<0，所以不能用二分法求其零点.(3)×　函数的零点也可能是区间的中点或在左侧区间内.题型一　二分法概念的理解【例1】　(1)下列函数中，不能用二分法求零点的是(　　)(2

7、)用二分法求方程2x＋3x－7＝0在区间(1，3)内的根，取区间的中点为x0＝2，那么下一个有根的区间是________.解析　(1)观察图象与x轴的交点，若交点附近的函数图象连续，且在交点两侧的函数值符号相异，则可用二分法求零点，故B不能用二分法求零点.(2)设f(x)＝2x＋3x－7，则f(1)＝2＋3－7<0，f(3)＝10>0，f(2)＝3>0，故f(x)零点所在的区间为(1，2)，∴方程2x＋3x－7＝0有根的区间是(1，2).答案　(1)B　(2)(1，2)规律方法　运用二分法求函数的零点应具备的条件(1)函数图象在零点附近连续不断.(2)在该零

8、点左右函数值异号.只有满足上述两个条件，才可用二分法求函数零点.【训练1】　已知函数f(x)的图象如图，其中零点的个数与可以用二分法求解的个数分别为(　　)A.4，4B.3，4C.5，4D.4，3解析　图象与x轴有4个交点，所以零点的个数为4；零点左、右函数值异号的有3个，所以可以用二分法求解的个数为3.答案　D题型二　用二分法求函数的零点【例2】　用二分法求函数f(x)＝x3－x－1在区间[1，1.5]内的一个零点(精确度0.01).解　经计算，f(1)<0，f(1.5)>0，所以函数在[1，1.5]内存在零点x0.取区间(1，1.5)的中点x1＝1.25

9、，经计算f(1.25)<0，因为f(1.25)·f(1.5)<0，所以x0∈(1.25，1.5).如此继续下去，得到函数的一个零点所在的区间，如下表：(a，b)(a，b)的中点中点函数值符号(1，1.5)1.25f(1.25)<0(1.25，1.5)1.375f(1.375)>0(1.25，1.375)1.3125f(1.3125)<0(1.3125，1.375)1.34375f(1.34375)>0(1.3125，1.34375)1.328125f(1.328125)>0(1.3125，1.328125)1.3203125f(1.3203125)<0因为

10、

11、1.328125－1.3203125

12、＝0.0078125<0.01，所以函数f(x)＝x3－x－1的一个精确度为0.01的近似零点可取为1.328125.规律方法　用二分法求函数零点的近似值应遵循的原则(1)需依据图象估计零点所在的初始区间[m，n](一般采用估计值的方法完成).(2)取区间端点的平均数c，计算f(c)，确定有解区间是[m，c]还是[c，n]，逐步缩小区间的“长度”，直到区间的两个端点符合精确度要求，终止计算，得到函数零点的近似值.【训练2】　证明函数f(x)＝2x＋3x－6在区间(1，2)内有唯一一个零点，并求出这个零点(精确度0.1).

13、解　∵f(1)＝－1<0，f(2)＝4>0，又∵f(x)是增函数，∴函数f(x)＝2x＋3x－6在区间(1，2)内有唯一的零点，设该零点为x0，则x0∈(1，2).取x1＝1.5，则f(1.5)≈1.33>0，f(1)f(1.5)<0，∴x0∈(1，1.5).取x2＝1.25，则f(1.25)＝0.128>0，f(1)·f(1.25)<0，∴x0∈(1，1.25).取x3＝1.125，则f(1.125)＝－0.44<0，f(1.125)·f(1.25)<0，∴x0∈(1.125，1.25).取x4＝1.1875，则f(1.1875)＝－0.16<0，f(1.

14、1875)·f(1.25)<0，∴x0∈(1.187