2009年温州市摇篮杯高一数学竞赛试卷及答案

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1、2009年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试题一、选择题：本大题共8小题，每小题6分，共48分。1．已知是钝角三角形，且角C为钝角，则点P落在（▲）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．已知集合，且，函数满足：对任意的，满足条件的函数的个数为（▲）A．0B．1C．2D．43．在等差数列中，已知，且的前项和，则在中，最大的一个是（▲）A．B．C．D．4．已知函数为奇函数，且满足，，则的值为（▲）A．0B．2C．D．20095．已知函数，则（▲）A．最大值为2B．最小正周期为C．一条对称轴为D．一个对称中心为6．已知函数关于的方程，下列四个命题中是假命题的是（▲）A．存在

2、实数，使得方程恰有2个不同的实根；B．存在实数，使得方程恰有4个不同的实根；C．存在实数，使得方程恰有6个不同的实根；D．存在实数，使得方程恰有8个不同的实根；7．如图，在中，点P是线段OB及AB、AO的延长线所围成的阴影区域内（含边界）PMOABN的任意一点，且，则在直角坐标平面上，实数对所表示的区域在直线的右下侧部分的面积是（▲）A．B．C．4D．不能求8．已知函数的图象经过三点，，，则的值等于（▲）高一数学竞赛试卷第4页（共4页）A．0B．1C．D．25二、填空题：本大题共6小题，每小题8分，共48分。9．已知，若则▲。.10．若，则▲。11．函数的最小值等于▲。12．设函

3、数，若表示不大于的最大整数，则函数的值域是▲。13．已知二次函数，若对于上的任意三个实数，函数值都能构成一个三角形的三边长，则满足条件的的值可以是▲。（写出一个即可）1234567…35791113…812162024…20283644…486480…112144…………14．如图是一个数表，第一行依次写着从小到大的正整数，然后把每行的相邻两个数的和写在这两数的正中间的下方得到下一行，数表从左到右、从上到下无限。则2000在表中出现▲次。三、解答题：本大题共3小题，共54分。CABO15．（本题满分16分）如图，已知O为的外心，角A、B、C的对边，且满足。（1）推导出三边之间的关

4、系式；（2）求的值。高一数学竞赛试卷第4页（共4页）得分评卷人16．（本题满分19分）已知函数，，定义，偶函数的定义域为，当时，。（1）求；（2）若存在实数使得该函数在上的最大值为，最小值为，求非零实数的取值范围。得分评卷人高一数学竞赛试卷第4页（共4页）17．（本题满分19分）数列满足：，（1）求数列的通项公式；（2）求证：数列中的任两项互质。（3）记，为数列的前项和，求的整数部分；高一数学竞赛试卷第4页（共4页）2009年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试题答案一、选择题：本大题共8小题，每小题6分，共48分。1．D解：由正弦定理，角C为钝角得，所以，选D2．B解：由已知得，，

5、对任意的为奇数，所以满足条件的函数只有一个即。3．A解：由得，，，又因为4．C解：由已知得，推出，所以，，又由上面关系式推得，选C5．D解：因为=，选D6．D解：设时，A答案正确；MOABNP当，B答案正确；当时，C答案正确；选D。7．A解：如图，则如图,选A8．D解：由已知，设高一数学竞赛试卷第4页（共4页）所以，，，所以，选D二、填空题：本大题共6小题，每小题8分，共48分。9．1。解：由知得10．0。解：原方程可化为11．4400。解：因为12．{0，1}。解：由已知得13．内的任一实数。解：由题意当时，；当时，不存在；当时，，不存在；当时，，所以这时；当时，，所以这时；综

6、上所述。14．4。解：由数表推得，每一行都是等差数列，第n行的公差为，记第n行的第m个数为,则高一数学竞赛试卷第4页（共4页）算得CABOFE答案为4。三、解答题：本大题共3小题，共54分。15．解:（1）取AB、AC的中点E、F，则同理；所以……………………………8分（2）16．解：（1）因为……（5分）设，所以………………（9分）图象如右：（2）因为；…………………………（12分）又因为，所以（否则，矛盾）高一数学竞赛试卷第4页（共4页）当所以有两个不同实根，综上所述。----------------------------19分。17．（1）解：因为当也成立，所以；----

7、----------------------------------------------5分；（2）因为所以，------------------------------------------------------------------------9分；因为为奇数，所以对任意的均互质。--------------------12分。（3）解：因为，所以，又因为，所以，---------------------------------------------------1