高考数学一轮复习课时跟踪检测（五十二）双曲线（含解析）新人教A版

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1、课时跟踪检测（五十二）双曲线一、题点全面练1．(2019·襄阳联考)直线l：4x－5y＝20经过双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的一个焦点和虚轴的一个端点，则双曲线C的离心率为(　　)A.　　　　　　　　B.C.D.解析：选A　由题意知直线l与两坐标轴分别交于点(5,0)，(0，－4)，从而c＝5，b＝4，∴a＝3，双曲线C的离心率e＝＝.2．(2019·成都模拟)如图，已知双曲线E：－＝1(a＞0，b＞0)，长方形ABCD的顶点A，B分别为双曲线E的左、右焦点，且点C，D在双曲线E上，若

2、AB

3、＝6，

4、BC

5、＝，则此双曲线的离心率为(　　)A.B.C.D.解析：选B　因为2c＝

6、A

7、B

8、＝6，所以c＝3.因为＝

9、BC

10、＝，所以5a＝2b2.又c2＝a2＋b2，所以9＝a2＋，解得a＝2或a＝－(舍去)，故该双曲线的离心率e＝＝，故选B.3．(2018·武汉调研)已知点P在双曲线－＝1(a＞0，b＞0)上，PF⊥x轴(其中F为双曲线的右焦点)，点P到该双曲线的两条渐近线的距离之比为，则该双曲线的离心率为(　　)A.B.C.D.解析：选A　由题意知F(c,0)，由PF⊥x轴，不妨设点P在第一象限，则P，双曲线的渐近线方程为bx±ay＝0，由题意，得＝，解得c＝2b，又c2＝a2＋b2，所以a＝b，所以双曲线的离心率e＝＝＝.4．(2018·全国卷Ⅰ)已知双曲线C：－y

11、2＝1，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N.若△OMN为直角三角形，则

12、MN

13、＝(　　)A.B.3C．2D．4解析：选B　由已知得双曲线的两条渐近线方程为y＝±x.设两条渐近线的夹角为2α，则有tanα＝＝，所以α＝30°.所以∠MON＝2α＝60°.又△OMN为直角三角形，由于双曲线具有对称性，不妨设MN⊥ON，如图所示．在Rt△ONF中，

14、OF

15、＝2，则

16、ON

17、＝.在Rt△OMN中，

18、MN

19、＝

20、ON

21、·tan2α＝·tan60°＝3.故选B.5．(2019·邯郸联考)如图，F1，F2是双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右两个焦点，若直线

22、y＝x与双曲线C交于P，Q两点，且四边形PF1QF2为矩形，则双曲线的离心率为(　　)A．2＋B.C．2＋D.解析：选D　由题意可得，矩形的对角线长相等，将直线y＝x代入双曲线C的方程，可得x＝±，所以·＝c，所以2a2b2＝c2(b2－a2)，即2(e2－1)＝e4－2e2，所以e4－4e2＋2＝0.因为e＞1，所以e2＝2＋，所以e＝，故选D.6．(2018·辽宁五校协作体联合模拟)在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为，从双曲线C的右焦点F引渐近线的垂线，垂足为A，若△AFO的面积为1，则双曲线C的方程为(　　)A.－＝1B.－y2＝1C.－＝

23、1D．x2－＝1解析：选D　因为双曲线C的右焦点F到渐近线的距离

24、FA

25、＝b，

26、OA

27、＝a，所以ab＝2，又双曲线C的离心率为，所以＝，即b2＝4a2，所以a2＝1，b2＝4，所以双曲线C的方程为x2－＝1，故选D.7．焦点是(0，±2)，且与双曲线－＝1有相同的渐近线的双曲线的方程是__________．解析：由题意可知，双曲线是焦点在y轴上的等轴双曲线，故所求双曲线的方程为－＝1.答案：－＝18．(2018·日照一模)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线与抛物线y2＝4x的准线分别交于A，B两点，O为坐标原点，若S△AOB＝2，则双曲线的离心率e＝________.解析：

28、由题意，知抛物线的准线方程是x＝－1，双曲线的渐近线方程是y＝±x.当x＝－1时，y＝±，即A，B或A，B.所以S△AOB＝×2××1＝2，即＝2，所以e＝＝.答案：9．双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点B为该双曲线的焦点．若正方形OABC的边长为2，则a＝________.解析：不妨令B为双曲线的右焦点，A在第一象限，则双曲线如图所示．∵四边形OABC为正方形，

29、OA

30、＝2，∴c＝

31、OB

32、＝2，∠AOB＝.∵直线OA是渐近线，方程为y＝x，∴＝tan∠AOB＝1，即a＝b.又∵a2＋b2＝c2＝8，∴a＝2.答案：210．已知双曲线－＝

33、1(a＞0，b＞0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点．设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1＋d2＝6，则双曲线的方程为__________．解析：∵双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为2，∴e2＝1＋＝4，∴＝3，即b2＝3a2，∴c2＝a2＋b2＝4a2，由题意可设A(2a,3a)，B(2a，－3a)，∵＝3，∴渐近线方程为y＝±x，则点A与点B到直线x－y＝0的距离分别为d1＝＝a，