高考数学二轮复习专题一第2讲数函数与方程及函数的应用案文

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1、第2讲　基本初等函数、函数与方程及函数的应用高考定位　1.掌握二次函数、分段函数、幂函数、指数函数、对数函数的图象性质；2.以基本初等函数为依托，考查函数与方程的关系、函数零点存在性定理；3.能利用函数解决简单的实际问题.真题感悟1.(2017·全国Ⅰ卷)设x，y，z为正数，且2x＝3y＝5z，则(　　)A.2x<3y<5zB.5z<2x<3yC.3y<5z<2xD.3y<2x<5z解析　令t＝2x＝3y＝5z，∵x，y，z为正数，∴t>1.则x＝log2t＝，同理，y＝，z＝.∴2x－3y＝－＝＝>0，∴2x>3y.又∵2x－

2、5z＝－＝＝<0，∴2x<5z，∴3y<2x<5z.答案　D2.(2017·全国Ⅲ卷)已知函数f(x)＝x2－2x＋a(ex－1＋e－x＋1)有唯一零点，则a＝(　　)A.－B.C.D.1解析　f(x)＝(x－1)2＋a(ex－1＋e1－x)－1，令t＝x－1，则g(t)＝f(t＋1)＝t2＋a(et＋e－t)－1.∵g(－t)＝(－t)2＋a(e－t＋et)－1＝g(t)，∴函数g(t)为偶函数.∵f(x)有唯一零点，∴g(t)也有唯一零点.又g(t)为偶函数，由偶函数的性质知g(0)＝0，∴2a－1＝0，解得a＝.答案　C3

3、.(2017·江苏卷)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是________.解析　一年的总运费与总存储费用之和为y＝6×＋4x＝＋4x≥2＝240，当且仅当＝4x，即x＝30时，y有最小值240.答案　304.(2015·湖北卷)函数f(x)＝2sinxsin－x2的零点个数为________.解析　f(x)＝2sinxcosx－x2＝sin2x－x2，函数f(x)的零点个数可转化为函数y1＝sin2x与y2＝x2图象的交点个

4、数，在同一坐标系中画出y1＝sin2x与y2＝x2的图象如图所示：由图可知两函数图象有2个交点，则f(x)的零点个数为2.答案　2考点整合1.指数与对数式的七个运算公式(1)am·an＝am＋n；(2)(am)n＝amn；(3)loga(MN)＝logaM＋logaN；(4)loga＝logaM－logaN；(5)logaMn＝nlogaM；(6)alogaN＝N；(7)logaN＝(注：a，b>0且a，b≠1，M>0，N>0).2.指数函数与对数函数的图象和性质指数函数y＝ax(a>0，a≠1)与对数函数y＝logax(a>0

5、，a≠1)的图象和性质，分01两种情况，当a>1时，两函数在定义域内都为增函数，当0

6、x

7、

8、(a>0，且a≠1)的值域为{y

9、y≥1}，则函数y＝loga

10、x

11、的图象大致是(　　)(2)(2017·山东卷)若函数exf(x)(e＝2.71828…是自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增，则称函数f(x)具有M性质.下列函数中具有M性质的是(　　)A.f(x)＝2－xB.f(x)＝x2C.f(x)＝3－xD.f(x)＝cosx解析　(1)由于y＝a

12、x

13、的值域为{y

14、y≥1}，∴a>1，则y＝logax在(0，＋∞)上是增函数，又函数y＝loga

15、x

16、的图象关于y轴对称.因此y＝loga

17、x

18、的图象应大致为选项B.

19、(2)若f(x)具有性质M，则[exf(x)]′＝ex[f(x)＋f′(x)]>0在f(x)的定义域上恒成立，即f(x)＋f′(x)>0在f(x)的定义域上恒成立.对于选项A，f(x)＋f′(x)＝2－x－2－xln2＝2－x(1－ln2)>0，符合题意.经验证，选项B，C，D均不符合题意.答案　(1)B　(2)A探究提高　1.指数函数、对数函数的图象和性质受底数a的影响，解决与指数、对数函数特别是与单调性有关的问题时，首先要看底数a的范围.2.研究对数函数的性质，应注意真数与底数的限制条件.如求f(x)＝ln(x2－3x＋2)

20、的单调区间，只考虑t＝x2－3x＋2与函数y＝lnt的单调性，忽视t>0的限制条件.【训练1】(1)(2017·长沙一模)函数y＝ln

21、x

22、－x2的图象大致为(　　)(2)(2017·成都冲刺)设函数f(x)＝则满足f(f(t))＝2f(t)的t的取值范围是__