2018年高考数学二轮复习 专题一 第2讲 基本初等函数、函数与方程及函数的应用案 文.doc

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1、第2讲 基本初等函数、函数与方程及函数的应用高考定位 1.掌握二次函数、分段函数、幂函数、指数函数、对数函数的图象性质;2.以基本初等函数为依托,考查函数与方程的关系、函数零点存在性定理;3.能利用函数解决简单的实际问题.真题感悟1.(2017·全国Ⅰ卷)设x,y,z为正数,且2x=3y=5z,则(  )A.2x<3y<5zB.5z<2x<3yC.3y<5z<2xD.3y<2x<5z解析 令t=2x=3y=5z,∵x,y,z为正数,∴t>1.则x=log2t=,同理,y=,z=.∴2x-3y=-==>0,∴2x>3y.又∵2x-5z=-==<0,∴2x<5z,∴3y

2、<2x<5z.答案 D2.(2017·全国Ⅲ卷)已知函数f(x)=x2-2x+a(ex-1+e-x+1)有唯一零点,则a=(  )A.-B.C.D.1解析 f(x)=(x-1)2+a(ex-1+e1-x)-1,令t=x-1,则g(t)=f(t+1)=t2+a(et+e-t)-1.∵g(-t)=(-t)2+a(e-t+et)-1=g(t),∴函数g(t)为偶函数.∵f(x)有唯一零点,∴g(t)也有唯一零点.又g(t)为偶函数,由偶函数的性质知g(0)=0,∴2a-1=0,解得a=.答案 C3.(2017·江苏卷)某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x吨,运费为6

3、万元/次,一年的总存储费用为4x万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x的值是________.解析 一年的总运费与总存储费用之和为y=6×+4x=+4x≥2=240,当且仅当=4x,即x=30时,y有最小值240.答案 304.(2015·湖北卷)函数f(x)=2sinxsin-x2的零点个数为________.解析 f(x)=2sinxcosx-x2=sin2x-x2,函数f(x)的零点个数可转化为函数y1=sin2x与y2=x2图象的交点个数,在同一坐标系中画出y1=sin2x与y2=x2的图象如图所示:由图可知两函数图象有2个交点,则f(x)的零点个

4、数为2.答案 2考点整合1.指数与对数式的七个运算公式(1)am·an=am+n;(2)(am)n=amn;(3)loga(MN)=logaM+logaN;(4)loga=logaM-logaN;(5)logaMn=nlogaM;(6)alogaN=N;(7)logaN=(注:a,b>0且a,b≠1,M>0,N>0).2.指数函数与对数函数的图象和性质指数函数y=ax(a>0,a≠1)与对数函数y=logax(a>0,a≠1)的图象和性质,分01两种情况,当a>1时,两函数在定义域内都为增函数,当0

5、问题(1)函数F(x)=f(x)-g(x)的零点就是方程f(x)=g(x)的根,即函数y=f(x)的图象与函数y=g(x)的图象交点的横坐标.(2)确定函数零点的常用方法:①直接解方程法;②利用零点存在性定理;③数形结合,利用两个函数图象的交点求解.4.应用函数模型解决实际问题的一般程序⇒⇒⇒.热点一 基本初等函数的图象与性质【例1】(1)(2017·郑州一模)若函数y=a

6、x

7、(a>0,且a≠1)的值域为{y

8、y≥1},则函数y=loga

9、x

10、的图象大致是(  )(2)(2017·山东卷)若函数exf(x)(e=2.71828…是自然对数的底数)在f(x)的定义域

11、上单调递增,则称函数f(x)具有M性质.下列函数中具有M性质的是(  )A.f(x)=2-xB.f(x)=x2C.f(x)=3-xD.f(x)=cosx解析 (1)由于y=a

12、x

13、的值域为{y

14、y≥1},∴a>1,则y=logax在(0,+∞)上是增函数,又函数y=loga

15、x

16、的图象关于y轴对称.因此y=loga

17、x

18、的图象应大致为选项B.(2)若f(x)具有性质M,则[exf(x)]′=ex[f(x)+f′(x)]>0在f(x)的定义域上恒成立,即f(x)+f′(x)>0在f(x)的定义域上恒成立.对于选项A,f(x)+f′(x)=2-x-2-xln2=2-x(

19、1-ln2)>0,符合题意.经验证,选项B,C,D均不符合题意.答案 (1)B (2)A探究提高 1.指数函数、对数函数的图象和性质受底数a的影响,解决与指数、对数函数特别是与单调性有关的问题时,首先要看底数a的范围.2.研究对数函数的性质,应注意真数与底数的限制条件.如求f(x)=ln(x2-3x+2)的单调区间,只考虑t=x2-3x+2与函数y=lnt的单调性,忽视t>0的限制条件.【训练1】(1)(2017·长沙一模)函数y=ln

20、x

21、-x2的图象大致为(  )(2)(2017·成都冲刺)设函数f(x)=则满足f(f(t))=2f(t)的t的取值范围是__

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