2第二节根轨迹绘制的基本准则

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1、第二节根轨迹绘制的基本准则8/17/202111、根轨迹的连续性：闭环系统特征方程的某些系数是增益的函数。当从0到无穷变化时，这些系数是连续变化的。故特征方程的根是连续变化的，即根轨迹曲线是连续曲线。2、根轨迹的对称性：一般物理系统特征方程的系数是实数，其根必为实根或共轭复根。即位于复平面的实轴上或对称于实轴。用解析法或试探法绘制根轨迹很烦琐。下面讨论的内容通过研究根轨迹和开环零极点的关系，根轨迹的特殊点，渐进线和其他性质将有助于减少绘图工作量，能够较迅速地画出根轨迹的大致形状和变化趋势。以下的讨论是针对参数的180度根轨迹的性质。根轨迹的连续性

2、和对称性8/17/202123、根轨迹的支数：n阶特征方程有n个根。当从0到无穷大变化时，n个根在复平面内连续变化组成n支根轨迹。即根轨迹的支数等于系统阶数。当时，只有时，上式才能成立。而是开环传递函数的极点，所以根轨迹起始于开环极点。n阶系统有n个开环极点，分别是n支根轨迹的起点。4、根轨迹的起点和终点：根轨迹方程为：时为起点，时为终点。根轨迹的支数和起始点8/17/20213当时，①，上式成立。是开环传递函数有限值的零点，由m个。故n阶系统有m支根轨迹的终点在m个有限零点处。②若n>m，那么剩余的n-m个终点在哪里呢？在无穷远处。我们称系统有

3、n-m个无限远零点。有限值零点加无穷远零点的个数等于极点数。那么，n-m支根轨迹是如何趋于无限远呢？根轨迹的支数由根轨迹方程知：当时8/17/202145.根轨迹的渐近线：渐近线包括两个内容：渐近线的倾角和渐近线与实轴的交点。倾角：设根轨迹在无限远处有一点，则s平面上所有得开环有限零点和极点到的相角都相等，即为渐近线的倾角。代入根轨迹的相角条件得：约定：相角逆时针为正，顺时针为负。根轨迹渐进线的倾角若开环零点数m小于开环极点数n，则当系统的开环增益Kg→∞时趋向无穷远处的根轨迹共有n-m条。这n-m条根轨迹趋向无穷远的方位可由渐近线决定。8/17

4、/202158/17/20216渐近线与实轴的交点假设根轨迹在无限远处有一点，则s平面上所有开环有限零点和极点到的矢量长度都相等。可以认为：对无限远闭环极点而言，所有的开环有限零点、极点都汇集在一起，其位置为，这就是渐近线与实轴的交点。幅值条件：根轨迹渐进线与实轴的交点8/17/20217根轨迹渐进线与实轴的交点8/17/20218由根轨迹方程可得：式中，渐进线与实轴的交点，倾角推导方法二8/17/20219根轨迹的渐近线当Kg→∞，由于m

5、迹的渐近线设s=x+jy,利用－1=cos(2k+1)π+jsin(2k+1)π，并根据德莫弗(DeMoive)代数定理(cosq+jsinq)n=cos(nq)+jsin(nq)，上式可写为8/17/202111根轨迹的渐近线这是与实轴交点为－s，斜率为的直线方程。也就是渐近线方程。渐近线与实轴的夹角(称为渐近线的倾斜角)为8/17/202112[例4-2]系统开环传递函数为：，试确定根轨迹支数，起点和终点。若终点在无穷远处，求渐进线与实轴的交点和倾角。[解]：根轨迹有3支。起点为开环极点无有限值零点，所以三支根轨迹都趋向无穷远。渐进线与实轴的

6、交点：渐进线与实轴的倾角：零极点分布和渐进线（红线）如图所示。8/17/2021136、实轴上的根轨迹：实轴上具有根轨迹的区间是：其右方开环系统的零点数和极点数的总和为奇数。[说明]：在实轴上有两个开环极点，复平面上还有一对共轭极点。s1,s2和s3是实轴上的任意点。它们是根轨迹上的点吗？先看s1点：相角条件，满足根轨迹相角条件，所以是根轨迹上的点。再看s2点：相角条件，不满足根轨迹相角条件，所以不是根轨迹上的点。同样s3点也不是根轨迹上的点。实轴上的根轨迹8/17/202114[例4-3]设系统的开环传递函数为：试求实轴上的根轨迹。[解]：开环

7、零、极点分布如下：红线所示为实轴上根轨迹，为：[-10，-5]和[-2，-1]。注意在原点有两个极点，双重极点用“”表示。8/17/2021157、根轨迹的会合点和分离点：若干支根轨迹在复平面上某一点相遇后又分开，称该点为分离点或会合点。有开环极点，零点从即处出发在A点相遇分离，到B点相遇会合。当时根轨迹一支走向另一支走向，A、B点称为根轨迹在实轴上的分离点和会合点。一般，若实轴上两相邻开环极点之间有根轨迹，则这两相邻极点之间必有分离点；如果实轴上相邻开环零点（其中一个是可能是无限大零点）之间有根轨迹，则这相邻零点之间必有会合点。例：实轴上的会合

8、点和分离点8/17/202116[分离点和会合点的求法]：由重根法，求极值法和作图法等。根轨迹在实轴上的分离点或会合点表示这些点是闭环特