江苏省常州市武进区九年级数学上册 1.3 一元二次方程的根与系数的关系专项练习六 （新版）苏科版

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1、第一章第3节一元二次方程根与系数的关系专项练习六六、根与系数关系综合题2：1．已知关于x的一元二次方程k－（4k+1）x+3k+3=0．（1）试说明：无论k取何值，方程总有两个实数根；（2）若△ABC的两边AB、AC的长是方程的两个实数根，第三边BC的长为5．当△ABC是等腰三角形时，求k的值．2．已知：关于x的一元二次方程x2－（m2＋2）x＋m2＋1=0（m≠0）（1）证明：方程有两个不相等的实数根（2）设方程的两个实数根分别为x1，x2，（其中x1

2、关系式．3．已知：关于的一元二次方程．（1）求证：不论取何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程的两个实数根满足，求的值．4．关于的方程为+(m+2)x+2m－1=0．(1)、证明：方程有两个不相等的实数根．(2)、是否存在实数m，使方程的两个实数根互为相反数？若存在，求出m的值及两个实数根；若不存在，请说明理由．5．关于的方程有两个不相等的实数根．（）求的取值范围．（）是否存在实数使方程的两个实数根的倒数和等于？若存在，求出的值，若不存在，说明理由．6．如果x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0的两根，

3、那么有x1+x2=-，x1x2=.这是一元二次方程根与系数的关系，我们可以利用它来解题，例如：x1，x2是方程x2+6x-3=0的两根，求x12+x22的值.解法可以这样：因为x1+x2=-6，x1x2=-3，所以x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=(-6)2-2×(-3)=42.请你根据以上解法解答下题：设x1，x2是方程2x2-x-15=0的两根，求：(1)+的值；(2)(x1-x2)2的值.7．已知、是关于的方程的两个不相等的实数根.(1)求实数的取值范围;(2)已知等腰的一边长为7，若、恰好是另外两

4、边长，求这个三角形的周长.8．如果方程x2＋px＋q＝0的两个根是x1、x2，那么x1＋x2＝－p，x1·x2＝q.请根据以上结论，解决下列问题：（1）已知关于x的方程x2＋mx＋n＝0(n≠0)，求出一个一元二次方程，使它的两根分别是已知方程两根的倒数；（2）已知a、b满足a2－15a－5＝0，b2－15b－5＝0，求的值；（3）已知a、b、c均为实数，且a＋b＋c＝0，abc＝16，求正数c的最小值．9．已知关于x的方程x2-(2m+1)x+m(m+1)=0.(1)求证:方程总有两个不相等的实数根;(2)已知方程

5、的一个根为x=0,求代数式(2m-1)2+(3+m)(3-m)+7m-5的值(要求先化简再求值).10．已知关于x的方程x2+（2k﹣1）x+k2﹣1=0有两个实数根x1，x2．（1）求实数k的取值范围；（2）若x1，x2满足x12+x22=16+x1x2，求实数k的值．11．已知关于x的一元二次方程x2+mx+n+1=0的一根为2．（1）用m的代数式表示n；（4分）（2）求证：关于y的一元二次方程y2+my+n=0总有两个不相等的实数根。（5分）12．已知关于x的一元二次方程（a﹣c）x2﹣2bx+（a+c）=0，

6、其中a、b、c分别为△ABC三边的长．如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由．13．已知关于x的一元二次方程x2﹣2mx+(m﹣1)2=0有两个实数根x1，x2．（1）求m的取值范围；（2）当x12+x22=28时，求m的值．14.已知关于的方程，有两个不相等的实数根：（1）求的取值范围；（2）若这个方程有一个根为2，求的值.15．已知关于x的一元二次方程+ax+a﹣2=0．（1）求证：不论a为何实数，此方程总有两个不相等的实数根．（2）若该方程的两个实数根分别为，，且=，求a的值．答案：1．（

7、1）见解析（2）或试题分析：（1）利用配方的方法将△进行配方，然后说明△≥0；（2）分两种情况进行讨论，即当AB=AC是，△=0，求出k的值和AB和AC的长度，进行判断是否能构成三角形；当BC为腰时，将x=5代入方程求出k的值，然后求出另外两边的长度进行判断是否能构成三角形．试题解析：（1）△==4－4k+1=≥0∴无论k取何值，方程总有两个实数根．（2）若AB=AC，则方程有两个相等的实数根即=0解得：k=当k=时，AB=AC=3，此时AB、AC、BC满足三边关系．若BC=5为△ABC的一腰，则方程有一根是5，将x

8、=5代入方程解得：k=当k=时，解得方程两根为5和3，此时AB、AC、BC满足三边关系．∴综上所述：当△ABC是等腰三角形时，k的值为或．2．（1）证明见解析；（2）y=m2-2．试题分析：（1）先根据判别式的值得到=m4，由于m≠0，根据非负数的性质得到△＞0，然后根据判别式的意义即可得到结论；（2）利用因式分解法得到x1=1，x2=m2+1