2018-2019学年高中数学 第一讲 坐标系复习课学案 新人教A版选修4-4

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1、第一讲坐标系复习课学习目标　1.复习回顾坐标系的重要知识点.2.进一步熟练极坐标方程的求法，能熟练进行极坐标方程与直角坐标方程的互化.3.能应用极坐标解决相关问题，并体会极坐标在解决有关问题时的优越性．1．平面直角坐标系中的伸缩变换设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：的作用下，点P(x，y)对应到点P′(x′，y′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．2．极坐标系(1)在平面上取一个定点O，由O点出发的一条射线Ox，一个长度单位及计算角度的正方向(通常取逆时针方向)，合称为一个极

2、坐标系．O点称为极点，Ox称为极轴．平面上任一点M的位置可以由线段OM的长度ρ和从Ox到OM的角度θ来刻画(如图所示)．这两个数组成的有序数对(ρ，θ)称为点M的极坐标．ρ称为极径，θ称为极角．(2)极坐标与直角坐标的互化设M为平面上的一点，它的直角坐标为(x，y)，极坐标为(ρ，θ)．由图可知下面的关系式成立：或顺便指出，上式对ρ<0也成立．这就是极坐标与直角坐标的互化公式．3．曲线极坐标方程的求法求曲线的极坐标的方法和步骤，和求直角坐标方程类似，就是把曲线看作适合某种条件的点的集合或轨迹，将已知条件用曲线上的极坐

3、标(ρ，θ)的关系式f(ρ，θ)＝0表示出来，就得到曲线的极坐标方程．类型一　求曲线的极坐标方程例1　在极坐标系中，已知圆C的圆心C，半径r＝3.(1)求圆C的极坐标方程；(2)若点Q在圆C上运动，点P在OQ的延长线上，且＝2，求动点P的轨迹方程．解　(1)设M(ρ，θ)是圆C上除O(0,0)以外的任意一点，在△OCM中，∠COM＝，由余弦定理，得

4、CM

5、2＝

6、OM

7、2＋

8、OC

9、2－2

10、OM

11、·

12、OC

13、·cos∠COM，∴32＝ρ2＋32－2×ρ×3cos，即ρ＝6cos.经检验，点O(0,0)也在此方程所表示的圆上

14、．∴圆C的极坐标方程为ρ＝6cos.(2)设点Q为(ρ1，θ1)，点P为(ρ0，θ0)，由＝2，得＝2(－)，∴＝，∴ρ1＝ρ0，θ1＝θ0，将其代入圆ρ1＝6cos，得ρ0＝6cos，即ρ0＝9cos.所以动点P的轨迹方程为ρ＝9cos.反思与感悟　求轨迹方程的方法有直接法、定义法、相关点代入法，在极坐标中仍然适用，注意求谁设谁，找出所设点的坐标ρ，θ的关系．跟踪训练1　在极坐标系中，过点作圆ρ＝4sinθ的切线，求切线的极坐标方程．解　把代入圆的极坐标方程ρ＝4sinθ，易知点满足方程，所以点M在圆ρ＝4sinθ

15、上．如图所示，在极坐标系中，过点M的圆ρ＝4sinθ的切线与极轴垂直，设切线与极轴的交点为N，则在Rt△OMN中，

16、ON

17、＝

18、OM

19、cos＝2.设P(ρ，θ)是切线上除点N以外的任意一点，则在Rt△OPN中，cos∠PON＝，即cosθ＝，又N(2,0)满足上式，故所求切线的极坐标方程为ρcosθ＝2.类型二　极坐标与直角坐标的互化例2　(2018·全国Ⅰ)在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为y＝k

20、x

21、＋2.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2＋2ρcosθ－3＝0.(1)求

22、C2的直角坐标方程；(2)若C1与C2有且仅有三个公共点，求C1的方程．解　(1)由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ得C2的直角坐标方程为(x＋1)2＋y2＝4.(2)由(1)知C2是圆心为A(－1,0)，半径为2的圆．由题设知，C1是过点B(0,2)且关于y轴对称的两条射线．记y轴右边的射线为l1，y轴左边的射线为l2.由于点B在圆C2的外面，故C1与C2有且仅有三个公共点等价于l1与C2只有一个公共点且l2与C2有两个公共点，或l2与C2只有一个公共点且l1与C2有两个公共点．当l1与C2只有一个公共点时，点A到l

23、1所在直线的距离为2，所以＝2，故k＝－或k＝0.经检验，当k＝0时，l1与C2没有公共点；当k＝－时，l1与C2只有一个公共点，l2与C2有两个公共点．当l2与C2只有一个公共点时，点A到l2所在直线的距离为2，所以＝2，故k＝0或k＝.经检验，当k＝0时，l1与C2没有公共点；当k＝时，l2与C2没有公共点．综上，所求C1的方程为y＝－

24、x

25、＋2.反思与感悟　(1)互化的前提依旧是把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴并在两种坐标系下取相同的单位长度．(2)极坐标方程化直角坐标方程时，要注意凑出：ρco

26、sθ，ρsinθ，tanθ，以方便用ρcosθ＝x，ρsinθ＝y及tanθ＝代入化简．跟踪训练2　已知点A，B的直角坐标分别为(2,0)，(3，)，求以A为圆心，过点B的圆的极坐标方程．解　

27、AB

28、＝＝2，故圆的标准方程为(x－2)2＋y2＝4，即x2＋y2＝4x.将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入x2＋y2＝4x，化简得ρ＝4cosθ，所