2019年高考数学一轮总复习 专题25 三角函数模型及应用检测 理

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1、专题25三角函数模型及应用本专题特别注意：1.方向角与方位角2.三角形与三角函数的综合3.正余弦定理及三角形中的射影定理的应用4.三角形与立体几何的练习5.圆锥曲线中的焦点三角形问题6.三角形与向量的综合【学习目标】能够运用正、余弦定理等知识解决一些测量距离问题、高度问题、角度问题、面积问题、方向问题等．【方法总结】利用正弦定理或余弦定理解三角形的常见题型有：测量距离问题、测量高度问题、测量角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等.1.在解三角形时，要根据具体的已知条件合理选择解法，同时不可

2、将正弦定理和余弦定理割裂开来，有时需要综合运用两个定理才能使题目获得解决.2.在解决与三角形有关的实际问题时，首先要明确题意，正确画出平面图形或空间图形，然后根据条件和图形特点将问题归纳到三角形中解决.3.在画图与识图过程中，要准确理解题目中所涉及的几种角，如仰角、俯角、方位角、方向角，以防出错.高考模拟：一、单选题1．如图所示，设，两点在河的两岸，一测量者在所在的同侧河岸边选定一点，测出的距离为，，后，就可以计算出，两点的距离为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】分析：由∠ACB与∠BAC，

3、求出∠ABC的度数，根据sin∠ACB，sin∠ABC，以及AC的长，利用正弦定理即可求出AB的长．点睛：（1）本题主要考查正弦定理解三角形，意在考查学生对该基础知识的掌握能力.(2)求解三角形应用题的一般步骤：①分析：分析题意，弄清已知和所求；②建模：将实际问题转化为数学问题，写出已知与所求，并画出示意图；③求解：正确运用正、余弦定理求解；④检验：检验上述所求是否符合实际意义.2．我国南宋著名数学家秦九韶发现了三角形三边求三角形面积的“三斜求积公式”，设三个内角，，所对的边分别为，，，面积为，

4、则“三斜求积公式”为.若，，则用“三斜求积公式”求得的（）A.B.C.D.【答案】D【解析】由可得，由可得，整理计算有：，结合三角形面积公式可得：.本题选择D选项.3．中国古代三国时期的数学家赵爽,创作了一幅“勾股弦方图”，通过数形结合，给出了勾股定理的详细证明.如图所示,在“勾股弦方图”中，以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形组成，这一图形被称作“赵爽弦图”.若正方形与正方形的面积分别为25和1，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】设AE=也，BE=y,则x+1=

5、y,,解得x=3,y=4,故得到.故答案为：D.4．已知台风中心位于城市东偏北(为锐角)度的150公里处，以公里/小时沿正西方向快速移动，小时后到达距城市西偏北(为锐角)度的200公里处，若，则()A.B.80C.100D.125【答案】C【点睛】本小题主要考查解三角形的实际应用，考查余弦定理解三角形，考查两角和的余弦公式，考查同角三角函数关系.首先要根据题目画出图象，要对方向角熟悉，上北下南左西右东，在点东西向和是平行的，内错角相等，将已知角都转移到中，然后利用正弦定理和余弦定理解三角形.5．

6、南宋时期的数学家秦九韶独立发现的计算三角形面积的“三斜求积术”，与著名的海伦公式等价，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减小，余四约之，为实.一为从隅，开平方得积.”若把以上这段文字写成公式，即.现有周长为且的，则其面积为（）A.B.C.D.【答案】A6．某新建的信号发射塔的高度为，且设计要求为：29米29.5米.为测量塔高是否符合要求，先取与发射塔底部在同一水平面内的两个观测点，测得，，米，并在点处的正上方处观测发射塔顶部的仰角为30°，且米，则发射塔高（

7、）A.米B.米C.米D.米【答案】A【解析】过点E作，垂足为，则米，，在中，由正弦定理得：米.在中，（米）.所以（米），符合设计要求.故选A.7．为了竖一块广告牌，要制造三角形支架，如图，要求∠ACB=60°，BC的长度大于1米，且AC比AB长0.5米，为了稳固广告牌，要求AC越短越好，则AC最短为（）A.(1+)米　　　B.2米　　　C.(1+)米　　　　D.(2+)米【答案】D【解析】设BC的长度为x米,AC的长度为y米,则AB的长度为(y−0.5)米，当且仅当时，取“=”号，即时,y有最小

8、值.本题选择D选项.8．如图，从气球上测得正前方的河流的两岸的俯角分别为，此时气球距地面的高度是，则河流的宽度等于（）A.B.C.D.【答案】C9．如图，为测量河对岸塔的高，先在河岸上选一点，使在塔底的正东方向上，在点处测得点的仰角为，再由点沿北偏东方向走到位置，测得，则塔的高是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】设BC=x，AC=2x，在三角形BCD中，由正弦定理得到在直角三角形ABC中，角BCA=，进而得到AB=.故答案为：D.10．[2018·赣州模拟]如图所示，为了测量，处岛屿的距离，