导数在研究函数中的运用

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1、导数在研究函数中的运用一、知识与方法1、函数的单调性：若函数y=f(x)在区间(a,b)上单调递增，则/V)>0,反之等号不成立；若函数y=/(x)在区间(a,b)上单调递减，则广(x)<0,反之等号不成立。2、函数的极值：(1)定义：设函数/(兀)在点心附近有定义，如果对兀°附近所有的点，都有/(%)/(x0),就说是/(兀)函数/⑴的一个极小值。记作y极小值=/(兀)。极大值和极小值统称为极值。(2)求函数)，

2、=/(%)在某个区间上的极值的步骤：(i)求导数广(x)；(ii)求方程f(x)=0的根兀°；(iii)检查广⑴在方程f(x)=0的根兀°的左右的符号:“左正右负”O/(X)在无)处取极大值；"左负右正”O/(X)在兀0处取极小值。特别提醒：(1)无是极值点的充要条件是勺点两侧导数异号，而不仅是广(兀0)=0；/'(心)=0是兀o为极值点的必要而不充分条件。(2)给岀函数极大(小)值的条件，一定要既考虑广(心)=0,乂要考虑检验“左正右负”(“左负右正”)的转化，否则条件没有用完，这一点一定要切记！3、函数的最大值和最小值：(1)定义

3、：函数/(x)在一闭区间上的最大值是此函数在此区间上的极大值与其端点值中的“最大值”；函数/(兀)在一闭区间上的最小值是此函数在此区间上的极小值与其端点值中的“最小值”。(2)求函数y=.f(x)在［。,方］上的最大值与最小值的步骤：(i)求函数y=f(x)在(ayb)内的极值(极大值或极小值);(ii)将y=f(x)的各极值与/(a),f(b)比较，其中最人的一个为最人值，最小的一个为最小值。特别注意：(1)利用导数研究函数的最值(极值)，且方程/z(x)=0在给定的范围内有多个无值时,要注意歹U表！(2)童善于应用函数的导数，考察

4、函数单调性、最值(极值)，研究函数的性态，数形结合解决方程不等式等相关问题。二、练习题1.函数/(兀)=*+/u+c,当a2-3b<0时，f(x)的单调性是递增2.函数/U)=?-3x2+1是减函数的区间为：DA.(2,+oo)B.(-00,2)C.(-co,0)D.(0,2)1.函数f(x)=x3-ax在［l,+oo)上单调函数，则实数a的取值范围(答：OvaS3)；1.在⑷切上，/r（x）＞0恒成立是函数y=/（兀）单调递增的条件。（必要不充分）2.函数/（x）=x34-ax2+3x-9,已知/（x）在尤=一3时取得极值，则a二D

5、A.2B.3C.4D.53.函数）‘，=（/_1）3+1的极值点是（答：C）；A、极人值点兀=-113、极人值点x=0C、极小值点x=0D、极小值点x=14.函数/（x）=x3+ax2+（a+6）x+l有极人值和极小值，则a的取值范I韦I是a〉6或av—35.函数y=2/-3〒_12x+5在［0,3］上的最人值、最小值分别是—（答：5；-⑸6.方程x3-6x2+9x-10=0的实根的个数为（答：1）；10./⑴的导函数）匸广（兀）的图象如右图所示，则）/（兀）的图象最有可能的是（C）11.已知函数y=xffM的图象如右下图所示（其屮厂

6、（尢）是函数/（兀）的导函数），下面四个图12.若f（x）=-^x2+/?ln（x+2）在（T,+oo）上是减函数，则b的収值范围是CA.[-1,+oo)B.(-1,+oo)C.(-oo,-1]D.(-oo,-1)13.函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在兀=1处有极小值10,求a+b的值.(答：一7)14.设x=和x=2是函数f(x)=ax3+6兀+1的两个极值点.(1)求b的值；(2)求/(兀)的单调区间解：(1)f(x)=3ax2+2Z?x+6,山已知可得f(l)=3d+2/?+6=O,/'(2)=3tzx22+2/?x2

7、+6=09解得。=l,b=——・2⑵由(1)知fx)=3兀2—9兀+6=3(兀2_3兀+2)=3(兀-1)(%-2).当X€(-00,l)u(2,4-00)B寸，f(X)>0;当X€(1,2)吋，/(X)<0因此/(%)的单调增区间是(-®1),(2,+8),/(%)的单调减区间是(1,2)13.已知函数/(%)=—x3——x2+(a+l)x+1,其中d为实数.32(1)己知函数/(X)在X=1处収得极值，求。的值；(2)已知不等式fx)>x2-x-a+l对任意aw(0,+8)都成立,求实数兀的取值范围.解：(1)fx)=ax2

8、-3x+(a+1).由于函数/(x)在兀=1处取得极值，所以有广(1)=0，B

9、J：d—3+d+l=0=>a=l.(2)由题设知：ax'—3x+(a+1)>X?-兀一。+1对任意aw(0,+oo)都成立，即6/(x2+2