向量复习知识总结,及相关题型研究

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1、向量知识点归纳与常见题型总结向量知识点归纳1.与向量概念有关的问题⑴向量不同于数量，数量是只有大小的量（称标量），而向量既有大小又有方向；数量可以比较人小，而向量不能比较大小，只有它的模才能比较大小.记号“a>b”错了，而G丨>

2、亦才有意义.⑵有些向量与起点有关，有些向量与起点无关.由丁•一切向量有其共性（大小和方向），故我们只研究与起点无关的向量（既口由向量）.当遇到与起点有关向量时，可平移向量.⑶平行向量（既共线向量）不一定相等，但相等向量一定是平行向量，既向量平行是向量相等的必要条件.⑷单位向量是模为1的向量，其坐标表示为（X』），其中X、y

3、满足X2+y2=1（可用（cos^,sin（9）（0<0<2rr）表示）•特ABt别：一-—表示与AB同向的单位向量。AB例如：向量兄（吉春+言咅）（/1H0）所在直线过ABC的内心（是ABAC的角平分线所在直线）；Anaq例1・0是平面上一个定点，a、b、c不共线，P满足OP=OA++•2€

4、0,+00）.则点P的轨迹-定通过三角形的内心。—4，则aabc为（）IACIAB\AC（变式）已知非零向量忑与怎满足（学■+今-）・BC=0k~7^-l/XBIIACIIABIA.三边均不相等的三角形B.直角三角形C.等腰非等边三角形D.等边三角

5、形（06陕西）⑸0的长度为0,是有方向的，并且方向是任意的，实数0仅仅是一个无方向的实数.⑹有向线段是向量的-种农示方法，并不是说向量就是有向线段.（7）相反向量（长度相等方向相反的向量叫做相反向量。a的相反向量是一ao）2.与向量运算有关的问题⑴向量与向量相加，其和仍是一个向量.（三角形法则和平行四边形法则）①当两个向量d和Z?不共线时，a+b的方向与d、方都不和同，且丨g+/?丨<丨d丨+丨b

6、；—>—>—>—♦—♦—♦—*—>—♦②当两个向量a和b共线II同向时，a+b、a、b的方向都相同，XLld+b1=丨a丨+丨b丨；③当向量d和b反向时

7、,若a>b9a+b与d方向相同,Jala+b

8、=

9、a-b；^a

10、Ht,a+b与b方向相同,Ra+b=b

11、-

12、a.⑵向量与向量相减，其差仍是一个向量•向量减法的实质是加法的逆运算.三角形法则适川丁•首尾相接的向量求和；平行四边形法则适川丁•共起点的向量求和。例2：P是三角形ABC内任一点，若CB=APA+PB.AeR,则P—定在（）a、ABC内部B、AC边所在的直线上C、AB边上D、BC边上——►2例3、若AB・BC+AB=0,则AABC是：A.RtAB.锐角△C.钝角△D.等腰RtA例4、已知向#a=(cos0,s

13、in0),b=(a/31),求2a-b的最大值。分析：通过向量的朋标运算，转化为两数(这里是三角)的最值问题，是通法。解：原式=I(2cos^-73,2sin6^+l)1=J(2cos&-語)，+(2sin&+1尸二j8+8sin(&一彳)。当且仅当5/r—f0=2£兀+—伙€Z)时，I2a_bI有最大值4.6评析：其实此类问题运用一个重要的向量不等式“心丨一口1151：±庁151：丨+1&丨”就显得简洁明快。原式5丨2：1+门1二2丨：丨+丨&1=2><1+2=4,但要注意等号成立的条件(向量同向)。⑶围成一周(首尾和接)的向量(有向线段表示

14、)的和为零向虽.如，AB+~BC+CA=0,(在△abc中)AB+BC+CD-]-DA=6.(ZZ7ABCD中)⑷判定两向量共线共线向量定理对空间任意两个向量a、b(bHO),a〃bU>存在实数入使a=Xb.⑸数量积的7个重要性质①两向量的夹角为0—#f—>f<2>a丄boa・b=0(•••&二90°,cos0=0)—>—♦—>——*—♦—♦—#—♦—♦—♦—♦—><3〉在实数运算中ab=00a=0或b=0.而在向量运算中==0或b=0是错误的，故a=0或b=0是a-b=0的充分而不必耍条件.①当d与/?同向时a-b-a-b(0二0,cos

15、0=1)；当a与b反向时，ab=-a•b(0,cos^=-1),即a〃/?的另一个充要条件是Ia-b=a-b.当〃为锐角时，a^h>o,.且°工肋仇〉0)(：、乙不同向)；当&为钝角时，a•b<0,且a工<0)(a、乙不反向)，->T->->41例5•如已知a=(2,22),h=(3A,2),如果a与/?的夹角为锐角，则几的取值范围是(答：2<一一或2〉0且免工一)；例6、己知i,丿•为相互垂直的单位向量，ci=i_2j,b=i+Aj。且d与Z?的夹角为锐角，求实数兄的取值范围。分析：由数呈积的定义易得“<：,/〉=>：•/〉()

16、”，但婆注意问题的等价性。—>f—>fI解：illd与的夹角为锐角，得a•b=I—22>0•有2<—•2而当a=th(t>