2018-2019高中数学 第四讲 数学归纳法证明不等式 4.2 用数学归纳法证明不等式举例学案 新人教A版选修4-5

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1、4.2用数学归纳法证明不等式举例预习案一、预习目标及范围1．会用数学归纳法证明简单的不等式．2．会用数学归纳法证明贝努利不等式，了解贝努利不等式的应用条件．二、预习要点教材整理　用数学归纳法证明不等式1．贝努利(Bernoulli)不等式如果x是实数，且x>－1，x≠0，n为大于1的自然数，那么有(1＋x)n>.2．在运用数学归纳法证明不等式时，由n＝k成立，推导n＝k＋1成立时，常常要与其他方法，如比较法、分析法、综合法、放缩法等结合进行．三、预习检测1.用数学归纳法证明“2n＞n2＋1对于n≥n0的正整数n都成立”时，第

2、一步证明中的起始值n0应取(　　)A．2　　　　B．3　　　　C．5　　　　D．62．用数学归纳法证明1＋＋＋…＋1)时，第一步证明不等式________成立．3．试证明：1＋＋＋…＋<2(n∈N＋)．探究案一、合作探究题型一、数学归纳法证明不等式例1已知Sn＝1＋＋＋…＋(n>1，n∈N＋)，求证：S2n>1＋(n≥2，n∈N＋).【精彩点拨】　先求Sn再证明比较困难，可运用数学归纳法直接证明，注意Sn表示前n项的和(n>1)，首先验证n＝2；然后证明归纳递推．[再练一题]1．若在本例中，条件变为“设f

3、(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N＋)，由f(1)＝1>，f(3)>1，f(7)>，f(15)>2，…”.试问：f(2n－1)与大小关系如何？试猜想并加以证明．例2　证明：2n＋2>n2(n∈N＋)．【精彩点拨】　⇒⇒[再练一题]2．用数学归纳法证明：对一切大于1的自然数，不等式…＞均成立．题型二、不等式中的探索、猜想、证明例3　若不等式＋＋＋…＋>对一切正整数n都成立，求正整数a的最大值，并证明你的结论．【精彩点拨】　先通过n取值计算，求出a的最大值，再用数学归纳法进行证明，证明时，根据不等式特征，在第二步，运用比差法较方便．[

4、再练一题]3．设an＝1＋＋＋…＋(n∈N＋)，是否存在n的整式g(n)，使得等式a1＋a2＋a3＋…＋an－1＝g(n)(an－1)对大于1的一切正整数n都成立？证明你的结论．二、随堂检测1．数学归纳法适用于证明的命题的类型是(　　)A．已知⇒结论B．结论⇒已知C．直接证明比较困难D．与正整数有关2．用数学归纳法证明不等式1＋＋＋…＋＜2－(n≥2，n∈N＋)时，第一步应验证不等式(　　)A．1＋＜2－B．1＋＋＜2－C．1＋＜2－D.1＋＋＜2－3．用数学归纳法证不等式1＋＋＋…＋＞成立，起始值至少取(　　)A．7　　　

5、B．8　　　C．9　　　D．10参考答案预习检测：1.【解析】　n取1,2,3,4时不等式不成立，起始值为5.【答案】　C2.【解析】　因为n>1，所以第一步n＝2，即证明1＋＋<2成立．【答案】　1＋＋<23.【证明】　(1)当n＝1时，不等式成立．(2)假设n＝k(k≥1，k∈N＋)时，不等式成立，即1＋＋＋…＋<2.那么n＝k＋1时，＋<2＋＝<＝2.这就是说，n＝k＋1时，不等式也成立．根据(1)(2)可知不等式对n∈N＋成立．随堂检测：1.【解析】　数学归纳法证明的是与正整数有关的命题．故应选D.【答案】　D2.【

6、解析】　n0＝2时，首项为1，末项为.【答案】　A3.【解析】　左边等比数列求和Sn＝＝2＞，即1－＞，＜，∴＜，∴n＞7，∴n取8，选B.【答案】　B