考研数学公式大全(全新的数学公式大全)

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高等数学公式篇•平方关系：sinA2(a)+cosA2(a)=1tanA2(a)+1=secA2(a)cotA2(a)+1=cscA2(a)•积的关系：sina=tana*cosacosa=cota*sinatana=sincfsecacota=cosa*cscaseca=tana*cscacsca=seca*cota•倒数关系：tanacota=1sinacsca=1cosaseca=1直角三•角形ABC中，角A的正弦值就等于角A的对边比斜边,余弦等于角A的邻边比斜边正切等于对边比邻边，•三角两数恒等变形公式•两角和与差的三角函数:cos(a+p)=cosacosp-sinasicos(a-p)=cosacosp+sinasin0sin(a±p)=sinacosp±cosa-sinptan(a+p)=(tana+tanp)/(1-tanatan3)tan(a-p)=(tana-tanp)/(1+tanatanp)•三角和的三角函数：sin(a+p+Y)=sina，cosP，cosY+cosasinpcosy+cosacospsinY-sina・sin0・sinYcos(a+p+y)=cosa-cospcosY-cosasinpsinY-sinacospsinysinasinp-cosYtan(a+P+Y)=(tana+tanP+tanY，anatan0・ta门丫)/(jtancrtanB-tanptar)Y・tanY・tana)•辅助角公式:Asina+Bcosa=(AA2+BA2)A(1/2)sin(a+t),其中sint=B/(AA2+BA2)A(1/2)cost=A/(AA2+BA2)A(1/2)tant=B/AAsina+Bcosa=(AA2+BA2)A(1/2)cos(a-t),tant=A/B•倍角公式: sin(2a)=2sinacosa=2/(tana+cota)cos(2a)=cosA2(a)-sinA2(a)=2cosA2(a)-1=1-2sinA2(a)tan(2a)=2tana/[1-tanA2(a)J•三倍介公式：sin(3a)=3s泊a-4sinA3(a)cos(3a)=4cosA3(a)-3cosa•半角公式：sin(a/2)=±((1-cosa)/2)cos(a/2)=±'((1+cosa)/2)tan(a/2)=±'((1-cosa)/(1+cosa))=sina/(1+cosa)=(1-cosa)/sina•降帚公式sinA2(a)=(1-cos(2a))/2=versin(2a)/2cosA2(a)=(1+cos(2a))/2=covers(2a)/2tanA2(a)=(1-cos(2a))/(1+cos(2a))•万能公式：sina=2tan(a⑵/口+tanA2(a/2)]cosa=[1-tanA2(a/2)]/[1+tanA2(a/2)]tana=2tan(a/2)/[1-tanA2(a/2)]•积化和差公式：sina-cosp=(1/2)[sin(a+p)+sin(a-p)]cosasinp=(1/2)[sin(a+p)-sin(a-p)]cosacos|3=(1/2)[cos(a+p)+cos(a-p)]sinasinp=-(1/2)[cos(a+p)-cos(a-p)]•和差化积公式：sina+sinp=2sin[(a+p)/2]cos[(a-p)/2]sina-sinp=2cos[(a+p)/2]sin[(a-P)/2]cosa+cosp=2cos[(a+p)/2]cos[(a-p)/2]cosa-cosp=-2sin[(a+p)/2]sin[(a-p)/2j•推导公式tana+cota=2/sin2atana-cota=-2cot2a1+cos2a=2cosA2a1-cos2a=2sinA2a1+sina=(sina/2+cosa/2)A2 sina+sin(a+2n/n)+sin(a+2n*2/n)+sin(a+2n*3/n)++sin[a+2n*(n-1)/n]=0cosa+cos(a+2n/n)+cos(a+2Tr*2/n)+cos(a+2n*3/n)++cos[a+2n*(n-1)/n]=0以及sinA2(a)+sinA2(a-2TT/3)+sinA2(a+2Tr/3)=3/2tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=O三角函数的角度换算[编辑本段]公式一：设a为任意角，终边相同的角的同一三角曲数的值相等：sin(2kTr+a〉=sinacos(2kn4-a)=cosatan(2kTT+a)=tanacot(2kn+a)=cota公式二：设a为任意角,TT+a的三角函数值与a的三角函数值之.间的关系:sin(TT+a)=—sinacos(tt+ci)=—cosatan(n+a)=tanacot(u+a)二cota公式三：任意角a占i的三角函数值之间的关系：sin(—a)=—sinacos(—a)—cosatan(—a)=—tanacot(—a)=—cota公式四:利用公式二和公式三可以得到TT-a与a的三角函数值之间的关系：sin(tt—a)=sinacos(tt—a)=—cosatan(tt—a)=—tanacot(tt—a)=—cota公式五：利用公式一和公式三可以得到2n-a与a的三角惭数值之间的关系:sin(2tt—a)=—sinacos(2TT—a)=cosatan(2tt—a)=—tanacot(2tt—a)=—cota n/2±a及3tt/2±q与a的三角函数值之间的关系：sin(TT/2+a)=cosacos有通解Q,可证明Q=Asinx+Bcosx,因此也可以从此出发定义三角函数。补充：山相应的指数表示我们可以定义-•种类似的两数——双曲两数，其拥有很多与三角两数的类似的性质，二者相映成趣。特殊三允函数值aO'30、45、60、90、sina01/2<2/2«3/21cosa1<3/272/21/20tana0n'3/313NonecotaNone31'3/30 导数公式:(arccosx)z1(tgx=sec2x(dgxy=-CSCX(secx)'=secx・/gx(cscxY=-escx-ctgx(arcsinx)r=/】Vi-x2(arctgxy=(a')'=axIna(log“x)f=1x a(arcct^x)f=-1l+x2dx~2~-a+x~dxx2-a2dx~21~a-xdxJa2-x2基本积分表：^tgxdx=-ln|cosx+C^ctgxdx=ln|sinx+Cjsecxdx=ln|secx+tgx+Cjcscxdx=ln|cscx-ctgx+C1x—“cfg—+Caa丄2ax+a丄12+C2aa-x=arcsin—+Caf―=[sec2xdx=tgx+C申訂CSC%*-侮+CJsinx」jsec%•tgxdx=secx+Ccscx•ctgxdx=-cscx+Caxdx=——+C ashxdx=chx+Cchxdx=shx+C=ln(x+』F±/)+C/r2In-Jsin"xdx=Jcos"xdx-00一2|a/x2+a2dx=寸yjx24-6f2++ln(x+7x2+a2)+C^x2-a2+C_2x1-a~dx=^4x1-a1--^-lnx+-x2dx=4-x2+—arcsin—+C2a三角函数的有理式积分:sinx= 2ul+w2cosx=-u21+w2dx=2du1+w2 一些初等函数:两个重要极限:X_-X双曲正弦：$hxJr2双曲余弦:chx=2..sinx’lim=1SO%lim(l+丄)—=2.718281828459045...WX双曲正切:〃A空Tchxe+earshx=ln(x+>Jx2+1)archx-±ln(x+>Jx2-1),111+xartnx=—In2I-x三角函数公式:・诱导公式：角AsincostgCtg-a-sinacosa-tga-ctga90°-acosasinactgatga90°+acosa-sina-ctga-tga180°-asina-cosa-tga-ctga180°+a-sina-cosatgactga270°-a-cosa-sinactgatga270°+a・cosasina-ctga-tga360°-a-sinacosa-tga-ctga360°+asinacosatgactga•和差化积公式:•和差角公式:sin(6Z±0)二sinacos0±cosasin/3sina+sin0=2sin"+卩cos—~—cos(q±0)=cosacos0干sin&sin卩,g(a±0)=曲士加1干fga・fg0亦（沁0）/抄心“利ctgf3±ctga22・•QcCC+P.cc—Psina—sinp=2cossin22cra+Ba-Bcosa+cosp=2coscos22cr・Q+0・a-Bcosa-cos0=2sinsin—22 •倍角公式:sin2a=2sinacosqcos2a=2cos2a-=l-2sin2a-cos2cr-sin2actg2actg2a一1sin3a=3sina-4sin'acos3q=4cos‘q-3cosqtg2a=2ctgatgia=3tga-tg3ai-3tg2a1_沁・半角公式：•a.I1-COS6Zsin—=±J2V2zg£=Jl-cos£=l-cos£=^in^2Vl+cos(2sina1+coscra,/1+COS6Zcos—=±q2V2a,杠+cosQ1+cosqsinactg—=±A==2V1-coscrsinal—cosa・正弦定理：-^—=^—=-^=2RsinAsinBsinC•余弦定理：c2=a2+b2-2abcosC71arctgx=arcctgx•反三角函数性质：arcsinx=arccosx2高阶导数公式——莱布尼兹(Leibniz)公式：“0冲叫+加1『+^^/'一2)/+…+讪-1)…⑺-k+1)/"严++«严)2!k中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理：f(b)-f(a)=『(G(b-a)柯西中值定理/⑷=以①F(b)-F(a)F©当F(x)=刘寸，柯西中值定理就是拉格朗H中值定理。曲率： 弧微分公式：ds=Jl+yJ匕其中yr=tga平均曲率灭彳讐|.Aq:从M点到点，切线斜率的倾角变化量；As：MM弧长。M点的曲率:limA®AadadsyfVo+/2)3直线：K=0;定积分的近似计算:b1矩形法寸/（兀）=—^（Vo+『］+•••+儿-）ab梯形法:J/W«―^-［-（儿+儿）+y］+…+儿_】］ab卜_抛物线法：J/（x）«^-［（y0+儿）+2（儿+）1+…+儿—2）+4®+“+•••+儿_］）］a定积分应用相关公式：功：W=Fs水压力：F=p-A引力：F=k®^,k为引力系数r_1b函数的平均值：）y—f/（x）t/xb~aa均方根』士jf严⑴力空间解析几何和向量代数: 空间2点的距离：〃=跑函2〔=—兀1)2+(旳一必)2+(°—可)2向量在轴上的投影:Prjti乔=|期卜cos(P,雄屈与U轴的夹角。Prju(5.+S2)=Prja}+Prja2a-b=|«|-cos6^=axbx+ayby+冬®,是一个数量，两向量之间的夹角:COS&=c=axb=avbyka「同=同・”|sin0.例：线速度：v=wxr,b.乙向量的混合积:[abc]=(axb)c=bxCx代表平行六面体的体积。bz=axb-|c|cosa,a为锐角时,平面的方程：1、点法式：A(x-xo)+B(y-yo)+C(z-zo)=O,其中n={A,B,C},A/0(x0,y0,z0)2、一般方程：Ar+By+Cz+Q=03、截距世方程：兰+丄+三=1abc平面外任意一点到该平面的距离：dJM+Byo+Cs+QlVa2+b2+c2x=xq+mt空间直线的方程:二1=口1=三l*其中“働”加;参数方程：y=y^ntmnp匕=5+1"二次曲面：2221、椭球面2+爲+二=1a"b"c_222、抛物面：—+^—=zSp^j同号)2p2q3、双曲面:2=2单叶双曲面:二+匚-二=16Tb~C222双叶双曲面:二-匚+二=1(马鞍血)CThzcz多元函数微分法及应用 全微分：dz,=^dx+—dydu=^-dx+—dydxdydxdydz.全微分的近似计算：Azudz=fx(x.y)Ax+fy(x,y)4v多元复合函数的求导法：£「/八/八]dzdz8uLdz8vdtduotdvotrVz、(、idz8zduQzdvz=/[uO,y),Wx,y)]oxduoxdvox当u=u(x9y),V=v(x,y)时,dv=^clx+^dydxdy.du.du,du=—dx+——dydxdy'隐函数的求导公式：隐函数Fd,y)=O,dx等忌专+软铮孚隐函数F(x,y,z)=O,翌__L8FdFfF(x,y,u,v)=Odu乔化Fv^G(x,y,w,v)=Od(u,v)dGdGGG、,dudvdx~F.隐函数方程组:加sxaM5)1Q(F,G)J3(x,v)J_%F,G)7d(y,v)dv16(F,G)—dxJd(u,x)Sv__J_6(F,G)㊈Jd(u,y)微分法在几何上的应用:x=（p（t）空间曲线＜y=i//⑴在点M（x0,）5,5）处的切线方程:z=Q（f）兀_兀00(A))〉'一儿心）Z—Zo少仏）在点M处的法平面方程:0（f（））0一兀°）+『（“））（）—y（））+"Co）（z-z°）=0若空间曲线方程为：［⑴儿力=［则切向量尸=｛G（x,y,z）=OGx曲面F(x,y9z)=0上一点M(x0,yQ,zQ)，则:1、过此点的法向量：丘二｛耳（兀0，儿，5）£（兀0』0,5）,巴（心儿心）｝2、过此点的切平面方程：耳（兀0，儿，细）（兀-兀0）+&（兀0，儿，5）0-儿）+心（兀0』0忆0）（2-5）=03、过此点的法线方程:一」一耳（兀0』0,5）儿FyCWoMo)Z—Zo巴（兀0，儿，5）方向导数与梯度: 函数z=/（%,）'）在一点0（兀』）沿任一方向/的方向导数为:%二%cos0+%sin0dloxdy其中©为兀轴到方向/的转角。函^z=f（x,y）在一点卩（兀,刃的梯度：gradf（x,y）=^I+^-Joxay它与方向导数的关系是:%二grad/（兀,y）・0,其屮e=cos（p-l+sin（p-]f为/方向上的81单位向量。・•・空是grad/'（x,y）在I上的投影。dl多元函数的极值及其求法：设人（兀0，儿）=人（心，儿）=0，令：几（观*0）=人几（兀0，儿）=5几GWo）=CAC">0时,仟叫小）警把[A>0,（X。,y°）为极小值则彳4C-矿<0时，无极值AC—=0时，不确定重积分及其应用：^f(x,y)dxdy=|j/(rcosrsin0)rdrd0DDf（a、2dz.伽（"）d<7平面薄片的重心：壬=竺=,MJjp（兀y）dcrD曲面z=f(x,y)的面积4=Ifdzdxdxdy\yp(x,y)dcyDJJo（兀,）WD对于y轴人=|Jx2p（x,）9（7（T平面薄片的转动惯量：对于兀轴-=JJy2p（/y）d6DD平面薄片（位于兀乃平面）对z轴上质点M（0,0,a）,（°〉0）的引力:F={FV,FV,E},其中:F,=fJj匕,耳=f口巴,兀=-faj]P（5巴D+y2+a2yD（〒+y2+q2）2D（兀2+y2+6/2）2柱面坐标和球面坐标： x=rcos^柱面坐标:vy=rsin<9,z=z踌©』）在厶上连续，厶的参数方程为:\[f(x,y,z)dxdydz=^F(r,0,z)rdrd3dz,QQ其中：F(r,^,z)=/(rcos^,rsin^,z)x=/*sin^cos^球面坐标*y=rsmcpsinG,dv=rd(p-rsin(p-d0^dr=r2sm(pclrd(pclOz=rCOS02兀7THe。)y,z)dxdydz=jj|F(r,^,^)r2sm(pdrd(pdO=^dO^d(p^F(r,(p,O)r2sin(pdrnqooo重心：元=丄出心皿，歹=丄出)冈儿2=丄出亠川，其中M=x=UHMqMQMQq转动惯量：/t=n/(/+z2wv,人二川2+z2)/x/v,Iz=jjj(x2+y2)/x/vQQQ曲线积分:第一类曲线积分（对弧长的曲线积分）:「……gz0^f(x,y)ds=J7[0(/),0(/)]j02⑴+%J(/)d/(a<0)特姝情况:La 第二类曲线积分(对坐标的曲线积分):设乙的参数方程为pw⑴，贝hpJp(x,y)dx+0(x,y)d)yJ{P[0(/)〃(/)]0(/)+0[0(/),刃)]『⑴側La两类曲线积分之间的关系-^dx+Qcly=J(Pcosa+Qcos0)d$,其中Q和0分别为LL厶上积分起止点处切向量的方向角。格林公式：[[(—-—)dxdy=c[Pdx+0dy格林公式:[[(—-—=^Pdx+Qdyd&oyZd&Qy•I•X,当P=-y,Q=x,=2时，得到D的面积：A=fdxdy=丄&〃丁一)山去労打2/•平面上曲线积分与路径无关的条件：1、G是一个单连通区域；2、P(x,y)fQ(x,y)在G内具有一阶连续偏导数，且孚=孚。注意奇点，如(0,0),应dxdy减去对此奇点的积分，注意方向和反！•二元函数的全微分求积：在娄=冬吋，Pdx+Qdy才是二元函数u(x,y)的全微分，其屮:oxdy(x,y)讥兀,y)=jp(x,y)clx+2(x,y)dyf通常设x()=y()=0。(So)曲面积分：对面积的曲面积分寸J/(x,y,z)ds=JJ7[兀,y,z(x,y)]Jl+疋(x,y)+z；(x,y)dxdy2Dxy对坐标的曲面积分:JJp(无,y,z)dydz+Q(x,y,z)dzdx+R(x,y,z)dxdy,其中：z)dxdy=±z(x,y)]dxdy,取曲而的上侧时取正号；JJp(x,y,z)dydz=±Jp[x(y,z),y,z]dydz,取曲面的询侧时取正号；(兀,=±JjQ[x,y(z,x),z]dzdx,取曲面的右侧时取正号。工5两类曲面积分之间的关系:JJPdydz+Qdzdx+Rdxdy=JJ(Pcos«+Qcos/3+Rcosy)d$高斯公式: cosacos/?COS/8aadx8zPQRr上式左端又可写成寸J一一gAaxpSP^dR8Q_8P_dzdxdxdy■1■Jk旋度：rotA=ddcdx8zPQR空间曲线积分与路径无关的条件譽等nM+惟+£)山=^pdydz+Qdzdx+Rdxdy=月(Pcosa+Qcos0+/?cos/)^5qQxOy》s高斯公式的物理意义——通量与散度：散度：divv=—4--^+—3P：单位体积内所产生的流体质量，若divP<0,则为消失…dxdydz通量：JJ方•方d$=JJX’ds=JJ(Pcosa+Qcos0+7?cos/)ds,zzz因此，高斯公式又可写成:JJJdivNdu=出斯托克斯公式——曲线积分与曲面积分的关系：ff.67?0Q、］,,8POR、］］,dQdPx..r_._.»dz11()dydz+{)dzdx+()dxdy=dPdx+Qdy+RclzydydzdzdxdxdyJ■向量场月沿有向闭曲线厂的坏流量寸Pdx+Qdy+Rdz=护•tdsrr常数项级数：等比数歹iJ：l+g+g2+...+/i等差数列：1+2+3+…+〃=(7?+1)/?~~2-调和级数吩+*+…—是发散的级数审敛法: 1、正项级数的审敛法——根植审敛法(柯西判别法)：设：p=lim诉7,°<1时，级数收敛°〉1时，级数发散不确定级数收敛级数发散2、比值审敛法:设：p=lim^,则W->00TJnQ<1时，Q>耐，0=1时，不确定3、定义法：片=绚+血+“存在，则收敛;否则发散。/I—>oo交错级数u}-U2+弘3-弘4+…(或-绚+比2一“3+…4>0)的审敛法莱布尼兹定理:{IL,>"”+|H爲那么级数收敛見其和其余项匚的绝对值|乙|<怙。7?->0On绝对收敛与条件收敛：(1)%+«2+•••+"“+…，其中知为任意实数；⑵”11+应|+闷+…+Kt|+…如果(2)收敛，贝lj(l)肯定收敛，且称为绝对收敛级数;如果⑵发散，而⑴收敛，则称⑴为条件收敛级数。调和级数:工丄发散，而工型收敛;nn级数莎4收敛;P<1时发散”>1时收敛幕级数: 1+X++X’+•••+•¥"+…V1时，收敛于——1-X时,发散对于级数⑶+%兀+。2兀2+…+色兀"+•…，如果它不是仅在原点收敛，也不是在全lxR时发散，其屮/?称为收敛半径。x=/?时不定求收敛半径的方法：设limQ“+ian二P，其中a”,a“+］是（3）的系数,则（/?=0时,r=LpR=+co+oo时°,R=0函数展开成幕级数:函数展开成泰勒级数：f（x）=/（兀。）（_兀。）+斗"仕-兀0）2+…+上工兀。）“+…2!n!余项：Rn=广尊（x—Ud）可以展开成泰勒级数的充要条件是=0z•八■n->oo(n+1)!兀。=0时即为麦克劳林公式：/（兀）=/（o）+广（0）兀+上孚*+・.・+£2迤2兀”+...厶•n一些函数展开成專级数:(1+x)=1+加兀+x+•••+x+•••2!.x3x5sinx=x11-3!5!x2n- (―1周期=2兀2”=]]71an=—(x)cosnxdx1H^f(x)sinnxdxI11卅Il+p+p+・・・=—/1+3252811171-bn5=1,2,3…)11171-^r+—rH+…=—22324-11117111••24/2232422xbn-—j/(x)sinwcdx兀02兀an=—J/(x)cos7?x(7x71o周期为2/的周期函数的傅立叶级数：+•••正弦级数：5=0,余弦级数:bn=o,2-(相加)62-(相减)12九=1,2,3…f(x)=^bnsinnxSi奇函数a?=0,1,2…/(x)=—+ancos处是偶函数