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1、第三章线性系统的能控性和能观性能控性和能观性的定义线性时变系统的能控性判据线性定常系统的能控性判据对偶原理与能观性判据线性系统的能控、能观性指数SISOS的能控规范型和能观规范型MIMOS的能控规范型和能观规范型多变量线性系统1线性系统的能控性和能观性3.1能控性和能观性的定义3.2线性时变系统的能控性判据3.3线性定常系统的能控性判据3.4对偶原理与能观性判据3.5线性系统的能控、能观性指数3.6SISOS的能控规范型和能观规范型3.7MIMOS的能控规范型和能观规范型多变量线性系统2线性系统的能控性和能观性3.1能控性和能观性的定义3.
2、1.1问题的提出研究系统的目的：更好地了解系统、控制系统。了解系统的含义：系统的组成、结构、属性和运动规律等。控制系统的含义：当前状态经一定时间是否转移到期望状态。能控性问题：已知系统当前时刻及其状态，是否存在一个容许控制，使系统在该控制作用下于有限时间后到达希望的特定状态？能观性问题：已知某系统及其在某时间段上的输入和输出，可否依据这一时间段上的输入和输出决定系统这一时间段上的状态？多变量线性系统3线性系统的能控性和能观性3.1.2能控性定义定义：对于线性时变系统，若对取定初始时刻t0J的一个非零初始状态x0,存在一个时刻t1J,t1
3、>t0和一个无约束的容许控制u(t),t[t0,t1],使得系统在此控制作用下，系统由x0出发的运动轨线经过时间t1-t0后由x0转移到x(t1)=0,则称x0是系统在t0时刻的一个能控状态。定义：对于线性时变系统，x00，都是在t0时刻的能控状态，则称系统在时刻t0是完全能控的；t0[T1,T2],系统均在t0时刻为能控的，称系统在[T1,T2]上是完全能控的。定义：对于系统取定初始时刻t0J，若状态空间存在一个非零状态在时刻t0是不可控的，则称系统在时刻t0是不完全能控的。注：1、状态转移对轨迹不加限制及规定；2、无约束表示
4、幅值不加限制；3、容许控制：J上平方可积，能量有限；4、由零状态转移到非零状态，称为状态能达的。多变量线性系统4线性系统的能控性和能观性3.1.3能观性定义多变量线性系统5线性系统的能控性和能观性定义（状态能观测）：对于线性时变系统，若对取定初始时刻t0J的一个非零初始状态x0,存在一个有限时刻t1J,t1>t0,使得有区间[t0,t1]上的系统输出可唯一地决定系统的初始状态x0，则称此x0在时刻t0为能观测的。（状态能观测）定义（状态不能观测）：对于线性时变系统，若对取定初始时刻t0J的一个非零初始状态x0,若t1J,t1>t0
5、,均有y(t)=0,t[t0,t1],则称此x0在时刻t0为不能观测的。定义（完全能观测的）：对于线性时变系统，若状态空间的所有状态都是时刻t0(t0J)的能观测状态,称系统在时刻t0是完全能观测的。若t0[T1,T2],系统均在t0时刻是完全能观测的，称系统在区间[T1,T2]上是完全能观测的。定义（不完全能观测的）：对于线性时变系统，取定初始时刻t0J，若状态空间存在一个或一些非零状态在t0的是不可能观测的,称系统在时刻t0是不完全能观测的。多变量线性系统6线性系统的能控性和能观性3.2线性时变系统的能控性判据3.2.1Gra
6、m矩阵判据3.2.2基于状态转移矩阵的判据定理：假设A(t)和B(t)均是t的连续函数矩阵，则系统在时刻t0能控的充要条件是存在某个有限时刻t1>t0,使得矩阵(t1,)B()在[t0,t1]上是行线性独立，即对任意n维非零向量Z,都有ZT(t1,)B()0.多变量线性系统7线性系统的能控性和能观性3.2.3基于系统参数矩阵的判据多变量线性系统8线性系统的能控性和能观性3.3线性定常系统的能控性判据3.3.1定常系统能控性的特殊性引理：设线性定常系统在t0[0,]时刻完全能控，则它必在[0,]上完全能控。3.3.2能控性
7、矩阵判据定理：定常线性系统能控性的充要条件是rank[BAB…An-1B]=n3.3.3PBH判据定理：定常线性系统能控性的充要条件是,对于每个(A),都有rank[A-InB]=n｛(A)为A特征值集合｝多变量线性系统9线性系统的能控性和能观性3.4对偶原理与能观性判据3.4.1Gram矩阵判据3.4.2对偶原理多变量线性系统10线性系统的能控性和能观性定理：[对偶原理]系统L在t0时刻完全能控的充要条件是它的对偶系统L在t0时刻完全能观测。系统L在t0时刻完全能观测的充要条件是它的对偶系统L在t0时刻完全能控。3.4.3能
8、观性判据定理：假设A(t)和B(t)均是t的连续函数矩阵，则系统在时刻t0能观的充要条件是存在某个有限时刻t1>t0,使得矩阵C()(，t1)在[t0,t1]上是列线性独立
