4线性系统的能控性与能观性

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1、4线性系统的能控性与能观性内容提要能观性与能控性是现代控制理论中的两个重要问题。比如在设计最优控制系统时，目的在于通过控制变量的作用，使系统的状态按预期的轨迹运行，如果状态变量不受控制，当然无法实现最优控制。另外，一个系统的状态变量往往难以测取，需要由输出量来估计状态,不能观测的系统就无法实现此目的。本章主要介绍线性系统的能控能观方面的基本知识，内容包括：1）能控性与能观性两个基础性概念，它们的判别准则以及对偶关系；2）分析系统的内在结构，按能控性与能观性进行的标准分解；3）系统能控性、能观性和传递函数矩阵间的关系，即系统

2、状态空间描述法与输入输出描述法的关系；4）能控标准形和能观标准形；5）系统的实现和传递函数矩阵的最小实现问题。习题与解答4.1判断下列系统的能控性。-45)u24)u20-2511+0丘210x21解:1）由于该系统控制矩阵/?=Ab==1001从而系统的能控性矩阵为Uc=[b显然有rankt/c=rank[Z?Ab=2=n满足能控性的充要条件，所以该系统能控。2)rhT该系统控制矩阵为_10B=01-11系统矩阵为_010001-2-4-3则有,010AB=001-2-4-3100101—-11-111-7从而系统的能

3、控性矩阵为Uc=[B01a2b=00-2-41_■-11■1—1-7-7_1■15_100ABficB=01-1-1111-1111-7-7115rank[/c=3=n满足能控性的充要条件，所以该系统能控。3)由于该系统控制矩阵为「1-13=0020系统矩阵为则有,AB=a2b=-3于是，系统的能控性矩阵为UC=_BAB可知-31A=0-30000-1'1-1_-33_00—00—20-200-30-1-339-900——00-2020-3100-3000-1~-1-339-9—000000_20-2020ranWVz

4、，=2

5、=00-25-20_-75_0A2b=从而系统的能控性矩阵为-112Uc=bAbA2b601500易知ranki/c=3=n满足能控性的充要条件，所以该系统能控。4.2判断下列系统的输出能控性。_-310_「1=0-30x2+00>3_00-1_^3_20[:;]X]■1orY_>2_-110儿2兰3_2)无2>3_00-610u-11y=[l0解:I）系统输出完全能控的充分必要条件是,矩阵CBCABCA2Bl・•JCA!l'xBd的秩j-f1013-100—-110-1120CB=所以_-310_1-1_

6、_10r-53_CAB—0-3000—-1103-3_00-120_-31o-2j-f_10r「11-9ca2b=0--3000—-110-9900-120[CBCABC42Bd=_3-1-5311-9_L-113-3-99rankfCfiCABCficBD~]=2=q等于输出变量的数目，因此系统是输出能控的。2）系统输出完全能控的充要条件是，矩阵［C圧C4EC4破••丄04心及切的秩为q。由于CB=OCAB=OCA2B=O所以CBCABC^BD=010]而rank[CBCABC^BD~=l=q等于输出变量的数

7、目，因此系统是输出能控的。4.3判断下列系统的能观测性。2)_010_±2=001兀2x3-2-4-3_兀301-1丿2_121兀2x33)x2=0432016兀2-25-20X02001200y=[O11]£~-400~X2=0-40%_A_001_^3_y=[ii4]兀21）系统的观测矩阵C=[l1],系统矩阵人=J1,得C4=[l1]=[21]系统能观性矩阵为'C'CAUo=11可知rankt/o=rankCCA=2=n满足能观性的充要条件,所以该系统是能观测的。2）系统的观测矩阵Cj21■010_系统矩阵人=001

8、,于是-2-4-3_■011-10021-2-40CA=10~■241—-2-3_3_4-1■010■_244_-8-14-8001—-2-3-1_220-2-4-3CA2系统能观性矩阵为U°CCACA2012-2-82124-3-142-114-1—80易知rankt/0=rankCCACA2=3=n