数值分析作业答案(第6章part2 & 第7章)(1)

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1、6.4.设，，用，表示解线性方程组的雅可比迭代与高斯—塞德尔迭代收敛的充分必要条件。解雅可比迭代法的迭代矩阵，，。雅可比迭代法收敛的充分必要条件是。高斯—塞德尔迭代法的迭代矩阵，，。高斯—塞德尔迭代法收敛的充分必要条件是。6.5.对线性方程组，若用迭代法，求解，问在什么范围内取值可使迭代收敛，取什么值可使迭代收敛更快？解迭代公式可以写成，迭代矩阵为。由，故矩阵的特征值为1和4，所以矩阵的特征值为，，因而。这样，所以当时迭代收敛。当时，达到最小值，故时收敛最快。6.6.用雅可比迭代与高斯—塞德尔迭代解线性方程组，证明若取，则两种方法均收敛，试比较哪种方法收敛快？解雅可比迭代法的迭代矩

2、阵，，故雅可比迭代法收敛。高斯—塞德尔迭代法的迭代矩阵，，故高斯—塞德尔迭代法收敛。因，故高斯—塞德尔迭代法收敛快。6.9.设有线性方程组，其中为对称正定矩阵，迭代公式，，试证明当时上述迭代法收敛(其中)。证明将迭代公式写成，，迭代矩阵为，其特征值。由，即，得，故当时，有，即，这时，故迭代收敛。7.1.用二分法求方程的正根，要求误差小于0.05.解设，因为，，所以为的有根区间。又，故当时，单调递减，当时，单调递增。而，，由单调性知的唯一正根。根据二分法的误差估计式，要求误差小于，只需，解得，故至少应二分6次。具体计算结果见下表。的符号0121.5-11.521.75+21.51.7

3、51.625+31.51.6251.5625-41.56251.6251.59375-51.593751.6251.609375-因此。