非封闭曲面Gauss公式和非封闭曲线第二类曲线积分

《非封闭曲面Gauss公式和非封闭曲线第二类曲线积分》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、非封闭曲面Gauss公式与非封闭曲线的第二类曲线积分PB07210214孙辉一、非封闭曲线Gauss公式的应用应用Gauss公式计算曲面积分有三点好处：（1）将第二类曲面积分化为三重积分，不再考虑定向曲面的方向，避免确定二重积分前面正负时易发生的差错。（2）一般，比P，Q，R简单，因而积分相应容易些。（3）计算三重积分方法较多，且灵活，比直接计算曲面积分要简单。虽然应用Gauss公式会使计算简单，但Gauss公式是有适用条件的。只有当P,Q,R在闭域上具有一阶连续偏导，域的边界曲面封闭，且取外侧，才有.（Ⅰ）积分曲面不封闭时，采取添加有向曲面的方法使之封闭。添补

2、时一般遵循两条原则：沿所添补的曲面的曲面积分较易算出；沿曲+的曲面积分利用Gauss公式也能较易算出。课堂测试有这样一道题：例1.计算曲面积分dydz+()dzdx+()dxdy.为上半球面z=上侧。解：==3dxdydz用球坐标代换：x=rsin()cos(),y=rsin()sin(),z=rcos()0,02所以，3sin()drdd=3=.为z=0,的圆平面。上式=原式==.(完)（Ⅱ）如果闭区间的边界闭曲面不是取外侧，而是取内侧，利用Gauss公式计算时，应在空间闭区域上的三重积分前取负号。这里所谓内侧，外侧的含义是：对于闭曲面，如果在曲面上任意点处的

3、法线方向朝着所围立体，哪么称这样确定的一侧为闭曲面的内侧，另一侧为外侧。下面看一道例题：例2.利用Gauss公式计算第二类曲面积分：为抛物面z=4-被平面z=0所截下的部分的下侧。解：由的图形形状易知，上任一点处的法线方向与z轴正向大于，因而朝着所围立体，取内侧。补一平面：z=0,为使所围立体取内侧，取上侧，由Gauss公式得到原式==-3-=-6=-32(完)（Ⅲ）当P、Q、R在曲面所围成的区域内某点不具有一阶连续偏导数时，不能直接应用Gauss公式，应利用下述复连通域上的Gauss公式的结论求之。一、非封闭曲线的第二类曲线积分积分曲线为非封闭曲线的第二类空间

4、曲线积分的算法有两种：(1)利用第二类空间曲线积分与路径无关的等价条件选择简便积分路径计算；例3.验证空间曲线积分+与路径无关，并计算积分值。解：P=因为,所以积分与路径无关所以有，+==（完）(2)添加曲线段使积分路线变为封闭曲线，在用Stokes公式化为曲面积分计算。例4.求曲线积分,其中L是从点A(a,0,0)到点B(a,0,H)的螺旋线解法1：曲线L是非封闭曲线。连接A，B，则L+构成封闭曲线。因为P=,Q=,R=由Stokes公式有：+=0+直线段AB方程为x=a,y=0,0zH,得dx=dy=0因而，=解法2：因P,Q,R及其偏导数在包含L的任一但连

5、通域上连续，所以积分与路径无关。选直线段作为新的积分路径，则因直线段的方程为x=a,y=0,0zH,故dx=dy=0，且原式====（完）总结：在非封闭曲面以及非封闭曲线情况下计算积分时，我们可以巧妙地应用添补法，构造出适用Gauss公式与Stokes公式的条件，这样就能简化计算，并且不易出错！