QZC《1.3.2秦九韶算法》课件

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1、案例2秦九韶算法[问题1]设计求多项式f(x)=2x5–5x4–4x3+3x2–6x+7当x=5时的值的算法,并写出程序.x=5f=2*x^5-5*x^4-4*x^3+3*x^2-6*x+7PRINTfEND程序点评:上述算法一共做了15次乘法运算,5次加法运算.优点是简单,易懂;缺点是不通用,不能解决任意多项多求值问题,而且计算效率不高.这时，计算上述多项式的值,一共需要9次乘法运算,5次加法运算.[问题2]有没有更高效的算法?分析:计算x的幂时,可以利用前面的计算结果,以减少计算量即先计算x2,然后依次计算x2x,(x2x)x,((x2x)x)

2、x的值.第二种做法与第一种做法相比,乘法的运算次数减少了,因而能提高运算效率.而且对于计算机来说,做一次乘法所需的运算时间比做一次加法要长得多,因此第二种做法能更快地得到结果.[问题3]能否探索更好的算法,来解决任意多项式的求值问题?f(x)=2x5-5x4-4x3+3x2-6x+7=(2x4-5x3-4x2+3x-6)x+7=((2x3-5x2-4x+3)x-6)x+7=(((2x2-5x-4)x+3)x-6)x+7=((((2x-5)x-4)x+3)x-6)x+7v0=2v1=v0x-5=2×5-5=5v2=v1x-4=5×5-4=21v3=v2x+3=2

3、1×5+3=108v4=v3x-6=108×5-6=534v5=v4x+7=534×5+7=2677所以,当x=5时,多项式的值是2677.这种求多项式值的方法就叫秦九韶算法.例3:用秦九韶算法求当x=5时多项式f(x)=2x5–5x4–4x3+3x2–6x+7的值.解法一:首先将原多项式改写成如下形式:f(x)=((((2x-5)x-4)x+3)x-6)x+7v0=2v1=v0x-5=2×5-5=5v2=v1x-4=5×5-4=21v3=v2x+3=21×5+3=108v4=v3x-6=108×5-6=534v5=v4x+7=534×5+7=2677所以,当

4、x=5时,多项式的值是2677.然后由内向外逐层计算一次多项式的值,即2-5-43-67x=5105252110510854053426702677所以,当x=5时,多项式的值是2677.原多项式的系数多项式的值.解法二:列表2例3:用秦九韶算法求当x=5时多项式f(x)=2x5–5x4–4x3+3x2–6x+7的值.2-50-43-60x=5105252512512160560830403034所以,当x=5时,多项式的值是15170.练一练:用秦九韶算法求多项式f(x)=2x6-5x5-4x3+3x2-6x当x=5时的值.解:原多项式先化为:f(x)=2x

5、6-5x5+0×x4-4x3+3x2-6x+0列表21517015170f(x)=anxn+an-1xn-1+an-2xn-2+……+a1x+a0.我们可以改写成如下形式:f(x)=((anx+an-1)x+an-2)x+…+a1)x+a0.求多项式的值时,首先计算最内层括号内一次多项式的值,即v1=anx+an-1,然后由内向外逐层计算一次多项式的值,即一般地,对于一个n次多项式v2=v1x+an-2,v3=v2x+an-3,……,vn=vn-1x+a0.这样,求n次多项式f(x)的值就转化为求n个一次多项式的值.这种算法称为秦九韶算法.秦九韶算法是求一元多

6、项式的值的一种方法.它的特点是:把求一个n次多项式的值转化为求n个一次多项式的值,通过这种转化,把运算的次数由至多n(n+1)/2次乘法运算和n次加法运算,减少为n次乘法运算和n次加法运算,大大提高了运算效率.思考v1=anx+an-1,v2=v1x+an-2,v3=v2x+an-3,……,vn=vn-1x+a0.观察上述秦九韶算法中的n个一次式,可见vk的计算要用到vk-1的值.若令v0=an,得v0=an,vK=vK-1x+an-k(k=1,2,……,n这是一个在秦九韶算法中反复执行的步骤,因此可用循环结构来实现.[问题]写出程序表示用秦九韶算法求5次多项

7、式f(x)=a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0当x=x0(x0是任意实数)时的值的过程.INPUT"n=";ninput"an=";ainput"x=";xv=ai=n–1whilei>=0print"i=";iinput"ai=";av=v*x+ai=i–1wendprintvend程序