第三章第8讲正弦定理和余弦定理的应用举例

《第三章第8讲正弦定理和余弦定理的应用举例》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第8讲　正弦定理和余弦定理的应用举例1．仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图①)．2．方位角从正北方向顺时针转到目标方向线的角(如图②，B点的方位角为α)．3．方向角相对于某一正方向的角(如图③)．(1)北偏东α：指从正北方向顺时针旋转α到达目标方向．(2)东北方向：指北偏东45°.(3)其他方向角类似．[做一做]1．在某次测量中，在A处测得同一半平面方向的B点的仰角是60°，C点的俯角为70°，则∠BAC等于(　　)A．10°　　　　　　　　B．50°C．120°D．130°答案：D1

2、．辨明两个易误点(1)易混淆方位角与方向角概念：方位角是指正北方向与目标方向线(按顺时针)之间的夹角，而方向角是正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角．(2)解三角形时，为避免误差的积累，应尽可能用已知的数据(原始数据)，少用间接求出的量．2．解三角形应用题的一般步骤[做一做]2．若点A在点C的北偏东30°，点B在点C的南偏东60°，且AC＝BC，则点A在点B的(　　)A．北偏东15°　　　　　　B．北偏西15°C．北偏东10°D．北偏西10°解析：选B.如图所示，∠ACB＝90°，又AC＝BC，∴∠CBA＝45°，而β＝30°，∴α＝90°

3、－45°－30°＝15°.∴点A在点B的北偏西15°.3．如图，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，选定一点C，测出AC的距离为50m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°，则A，B两点间的距离为________．解析：由正弦定理得AB＝＝＝50(m)．答案：50m,[学生用书P73～P74])__测量距离____________________________　如图，隔河看两目标A与B，但不能到达，在岸边先选取相距千米的C，D两点，同时，测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°(A，B，C，D在同一

4、平面内)，求两目标A，B之间的距离．[解]　在△ACD中，∠ACD＝120°，∠CAD＝∠ADC＝30°，∴AC＝CD＝km.在△BCD中，∠BCD＝45°，∠BDC＝75°，∠CBD＝60°.∴BC＝＝.在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝()2＋－2×××cos75°＝3＋2＋－＝5，∴AB＝(km)，∴A，B之间的距离为km.[规律方法]　求距离问题的注意事项(1)选定或确定要求距离问题的注意事项求解的三角形，即所求量所在的三角形，若其他量已知则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解．(2)确定用正弦定理还是余弦定理，如

5、果都可用，就选择更便于计算的定理．　1．如图所示，要测量一水塘两侧A，B两点间的距离，其方法为：先选定适当的位置C，用经纬仪测出角α，再分别测出AC，BC的长b，a，则可求出A，B两点间的距离，即AB＝.若测得CA＝400m，CB＝600m，∠ACB＝60°，试计算AB的长．解：在△ABC中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos∠ACB，∴AB2＝4002＋6002－2×400×600cos60°＝280000.∴AB＝200m.即A，B两点间的距离为200m.__测量高度__________________________

6、__　(2014·高考课标全国卷Ⅰ)如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点．从A点测得M点的仰角∠MAN＝60°，C点的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°；从C点测得∠MCA＝60°.已知山高BC＝100m，则山高MN＝________m.[解析]　根据题图，AC＝100m.在△MAC中，∠CMA＝180°－75°－60°＝45°.由正弦定理得＝⇒AM＝100m.在△AMN中，＝sin60°，∴MN＝100×＝150(m)．[答案]　150[规律方法]　求解高度问题的注意事项：(1)在测量高度时，要理解仰角、俯角的概

7、念，仰角和俯角都是在同一铅垂面内，视线与水平线的夹角；(2)准确理解题意，分清已知条件与所求，画出示意图；(3)运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解问题的答案，注意方程思想的运用．　2.(2015·吉安模拟)要测量底部不能到达的电视塔AB的高度，在C点测得塔顶A的仰角是45°，在D点测得塔顶A的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD＝120°，CD＝40m，则电视塔的高度为________m.解析：如图，设电视塔AB高为xm，则在Rt△ABC中，由∠ACB＝45°得BC＝x.在Rt△ABD中，∠ADB＝30°，则BD＝x.在△BD

8、C中，由余弦定理得，BD2＝BC2＋CD2－2BC·CD·cos120°，即(x)2＝x2＋402－2·x·40·cos120°，解得x＝40，所以电视塔高为40m