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1、用类比思想推导圆的面积计算公式中小学数学?小学版2011年第6期用类比思想推导圆的面积计算公式浙江省杭州市萧山区教研室(311201)邵汉民一般地,我们把圆面积公式的推导过程定义为转化的过程,即把圆通过切拼转化为近似的长方形,这种转化思想的范型来自于平行四边形面积公式的推导.但当全面回顾了长方形,平行四边形和三角形的面积公式的推导之后发现,要把曲线图形圆转化为直线图形是一件不可能完成的操作.成书于汉代的《九章算术》第一章方田章,主要的内容是讲述各种面积的计算.其中第32题就是求圆田面积:有圆田,周
2、一百八十一步,径六十步三分步之一,问为田几何?答日:十一亩九十步十二分步之一术日:半周半径相乘得积步.《九章算术》中总结的求圆田面积公式与我们现在的公式如出一辙,只不过这里的圆周率运用的是它的近似值3.随着圆周率的精确度的提高,应用这个公式所计算的面积的精确度也随之提高.这个公式是如何推导的呢?《九章算术》中没有说明.成书年代更早的一本古代天文算书《周髀算经》中有这样一段话:”圆出于方,……”.”圆出于方”这一个命题给了我们一个新的推导思路.(见图1)圊正二十四边形圆出一正十二边形于方正六边形正方
3、形贼卿.s=号xhs=皂×hS=‘图1图1中很清晰地表达了规律,从正方形到圆的所一5O一霎有正多边形的面积计算公式都可以归纳为”半周乘高”.我们猜测《九章算术》中的”半周半径相乘得积步”,可能就是通过这样一种类比的思路得到的.我们以此为基本思路,展开了圆面积公式的推导.1.回顾总结推导面积计算公式的方法.回顾长方形,平行四边形和三角形这三种典型的直线平面图形的推导过程,总结出用数方格和切拼转化成已知面积公式的图形这两种方法.2.用单位面积估测圆面积.教师在两个圆上分别贴一个方格图(如图2),请学生
4、估计出大致值../,f’IJ‘/图2用打方格来求圆的面积是一种最原始的方法,在古埃及的《莱因得纸草书》中就有具体的介绍.它可以比较精确地估计出圆的面积.用数方格的方法估计出圆的面积,这一个思考过程,既是对原来方法的应用,也为圆不可能直接转化成直线图形提供了形象的比照,为进一步思考如何求圆的面积指明了方向:化曲为直.3.体验”圆出于方”.教师首先用课件演示,发现圆形喷水池的轮廓并不圆这一现象:图3这时,教师用课件从下往上分别演示,其中当演示到正二十四边形,已经是一个近似的圆了,这时教师把正二十四边
5、形放大,让学生观察到,原来它确实是一个多边形.最后总结:”圆出于方”.“圆出于方”是古人对圆与正多形关系的一个认中小学数学?小学版2011年第6期识,也是对圆进行无限分割的前提.通过本教学环节,让学生感受到”圆出于方”的变化过程.对推导圆面积公式做足类比与推理的准备.图44.推导圆面积计算公式.从正方形开始逐步推导出求正多边形的通用公式,再用无限类比法推导出圆面积公式.既体现了数学的传承现象,也体现了数学创新的过程.下面是具体的教学实录:(1)求正方形的面积,要知道什么?生:正方形的边长.教师用课
6、件出示公式,并在课件中把正方形按对角线分成四等分(四个直角三角形).师问:如果已知一个三角形的面积能够求吗?生:可以,一个三角形的面积乘4.教师继续演示:把四个三角形分成两个部分,再拼成一个平行四边形.接着追问:现在你想知道什么就可以求这个正方形的面积.生:底和高师追问:底和高分别是原来正方形中的什么?生:两条边的和与其中一个三角形的高.师追问:两条边的和刚好是原来周长的多少?生:原来正方形周长的一半.(可能学生这里不能想到,那么就由教师直接讲解)教师在图中演示,并总结得:s=詈×h.对上述教学过
7、程,用课件形成图5.正方形S=图5师:如果要你选择求正方形的面积,你喜欢原来的面积公式,还是现在的?生:原来的.因为现在的太繁了.师:是的,如果就是为了求正方形的面积,当然是原来的公式简便,但是用原来的公式不能推导出求其它几个图形的面积计算公式,但这一个公式却可以,你信不信?让我们再往下看.【意图:我们充分考虑了学生的认知心理,对于原来的公式与现在的公式,当然是原来的公式更简捷了.但是数学学习的过程中,为了求出更为一般化的通用公式,往往要改变视角来考虑问题.这是一个很典型的例子.因此,我们没有很生
8、硬地进行说教,而是让学生通过比较,首先认同原来的公式的优点,然后教师指出推导现在公式的作用,为进一步学习提供了知识的基础和心理的准备】(2)推导求正六边形的面积计算公式.师:能求正六边形的面积吗?生:分一分.师把正六边形分成六个同样大小的三角形,然后用课件演示.师:正六边形变成了什么?生:平行四边形.师:要求正六边形的面积,需要知道什么?怎样求?生:正六边形的边长和三角形的高.边长乘3再乘商.生:也就是s={×h.这时屏幕上演示成图6.正六边形正方形s=导图6(以上步骤视班级情况,
