2018_2019学年高中数学第二讲证明不等式的基本方法一比较法教案（含解析）新人教a版

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1、一比较法1．作差比较法(1)作差比较法的理论依据a－b>0⇔a>b，a－b<0⇔a0，若>1，则a>b；若<1，则a1，则ab.(2)作商比较法解题的一般步骤：①判定a，b的符号；②作商；③变形整理；④判定与1大小关系；⑤得出结论．作差比较法

2、证明不等式[例1]　已知x>y，求证：x3－x2y＋xy2>x2y－xy2＋y3.[思路点拨]　因为不等式两边是同一种性质的整式，所以可以直接通过作差比较大小．[证明]　x3－x2y＋xy2－(x2y－xy2＋y3)＝x(x2－xy＋y2)－y(x2－xy＋y2)＝(x－y)(x2－xy＋y2)＝(x－y).因为x>y，所以x－y>0，于是(x－y)>0，所以x3－x2y＋xy2>x2y－xy2＋y3.(1)作差比较法中，变形具有承上启下的作用，变形的目的在于判断差的符号，而不用考虑差能否化简或值是多少．(2)变形所用的方法要具体情况具体分析，可以配方，可以因式分解，

3、可以运用一切有效的恒等变形的方法．(3)因式分解是常用的变形手段，为了便于判断“差式”的符号，常将“差式”变形为一个常数，或几个因式积的形式，当所得的“差式”是某字母的二次三项式时，常用配方法判断符号．有时会遇到结果符号不能确定，这时候要对差式进行分类讨论．1．求证：a2＋b2≥2(a－b－1)．证明：a2＋b2－2(a－b－1)＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0，∴a2＋b2≥2(a－b－1)．2．已知a，b∈R＋，n∈N＋，求证：(a＋b)(an＋bn)≤2(an＋1＋bn＋1)．证明：∵(a＋b)(an＋bn)－2(an＋1＋bn＋1)＝an＋1＋abn＋ban＋

4、bn＋1－2an＋1－2bn＋1＝a(bn－an)＋b(an－bn)＝(a－b)(bn－an)．①当a>b>0时，bn－an<0，a－b＞0，∴(a－b)(bn－an)<0.②当b>a>0时，bn－an>0，a－b<0.∴(a－b)(bn－an)<0.③当a＝b>0时，(bn－an)(a－b)＝0.综合①②③可知，对于a，b∈R＋，n∈N＋，都有(a＋b)(an＋bn)≤2(an＋1＋bn＋1).作商比较法证明不等式[例2]　设a>0，b>0，求证：aabb≥(ab).[思路点拨]　不等式两端都是指数式，它们的值均为正数，可考虑用作商比较法．[证明]　∵aabb>0，

5、(ab)>0，∴＝a·b＝.当a＝b时，显然有＝1；当a>b>0时，>1，>0，∴由指数函数单调性，有>1；当b>a>0时，0<<1，<0，∴由指数函数的单调性，有>1.综上可知，对任意实数a，b，都有aabb≥(ab).当欲证的不等式两端是乘积形式或幂指数形式时，常采用作商比较法，用作商比较法时，如果需要在不等式两边同乘某个数，要注意该数的正负，且最后结果与1比较．3．已知a>b>c>0.求证：a2ab2bc2c>ab＋cbc＋aca＋b.证明：由a>b>c>0，得ab＋cbc＋aca＋b>0.作商＝＝aa－baa－cbb－cbb－acc－acc－b＝a－ba－cb

6、－c.由a>b>c>0，得a－b>0，a－c>0，b－c>0，且>1，>1，>1.∴a－ba－cb－c>1.∴a2ab2bc2c>ab＋cbc＋aca＋b.4．设n∈N，n>1，求证logn(n＋1)>log(n＋1)(n＋2)．证明：因为n>1，所以logn(n＋1)>0，log(n＋1)(n＋2)>0，所以＝log(n＋1)(n＋2)·log(n＋1)n≤2＝2<2＝1.故log(n＋1)(n＋2)

7、度m行走，另一半路程以速度n行走．如果m≠n，问甲、乙二人谁先到达指定地点？[思路点拨]　先用m，n表示甲、乙两人走完全程所用时间，再进行比较．[解]　设从出发地点至指定地点的路程为s，甲、乙二人走完这段路程所用的时间分别为t1，t2，依题意有m＋n＝s，＋＝t2.∴t1＝，t2＝.∴t1－t2＝－＝＝－.其中s，m，n都是正数，且m≠n，∴t1－t2<0.即t1