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1、21.（本小题满分13分）已知函数(I)求函数的单调区间;（Ⅱ）若不等式对任意的都成立（其中e是自然对数的底数）.求a的最大值.解:（Ⅰ）函数的定义域是，设则令则当时，在（-1，0）上为增函数，当x＞0时，在上为减函数.所以h(x)在x=0处取得极大值，而h(0)=0,所以，函数g(x)在上为减函数.于是当时，当x＞0时，所以，当时，在（-1，0）上为增函数.当x＞0时，在上为减函数.故函数的单调递增区间为（-1，0），单调递减区间为.（Ⅱ）不等式等价于不等式由知，设则（构造函数）由（Ⅰ）知，即所以于是G(x
2、)在上为减函数.故函数G（x）在上的最小值为所以a的最大值为21．（本小题满分12分）已知函数，其中，为常数．（Ⅰ）当时，求函数的极值；（Ⅱ）当时，证明：对任意的正整数，当时，有．解：21．（Ⅰ）解：由已知得函数的定义域为，当时，，所以．（分类讨论）（1）当时，由得，，此时．当时，，单调递减；当时，，单调递增．（2）当时，恒成立，所以无极值．综上所述，时，当时，在处取得极小值，极小值为．当时，无极值．（Ⅱ）证法一：因为，所以．当为偶数时，（分类讨论）令，则（）．所以当时，单调递增，又，因此恒成立，所以成立．当
3、为奇数时，要证，由于，所以只需证，（常用的不等式）令，则（），所以当时，单调递增，又，所以当时，恒有，即命题成立．综上所述，结论成立．证法二：当时，．当时，对任意的正整数，恒有，故只需证明．（常用的不等式）令，，则，当时，，故在上单调递增，因此当时，，即成立．故当时，有．即．20（07湖北）（本小题满分13分）已知定义在正实数集上的函数，，其中设两曲线，有公共点，且在该点处的切线相同（I）用表示，并求的最大值；（II）求证：（）20本小题主要考查函数、不等式和导数的应用等知识，考查综合运用数学知识解决问题的能
4、力解：（Ⅰ）设与在公共点处的切线相同 ，，由题意，（方程的思想）即由得：，或（舍去）即有（）令，则于是当，即时，；当，即时，故在为增函数，在为减函数，于是在的最大值为（Ⅱ）设，（构造函数）则故在为减函数，在为增函数，于是函数在上的最小值是故当时，有，即当时，22（本小题满分14分）已知函数（Ⅰ）若，试确定函数的单调区间；（Ⅱ）若，且对于任意，恒成立，试确定实数的取值范围；（Ⅲ）设函数，求证：22 本小题主要考查函数的单调性、极值、导数、不等式等基本知识，考查运用导数研究函数性质的方法，考查分类讨论、化归以及数
5、形结合等数学思想方法，考查分析问题、解决问题的能力 满分14分解：（Ⅰ）由得，所以由得，故的单调递增区间是，由得，故的单调递减区间是（Ⅱ）由可知是偶函数于是对任意成立等价于对任意成立由得（分类讨论）①当时，此时在上单调递增故，符合题意②当时，当变化时的变化情况如下表：单调递减极小值单调递增由此可得，在上，依题意，，又综合①，②得，实数的取值范围是（Ⅲ），，（基本不等式），（赋值法，迭乘法）由此得，故（22）（本小题满分14分）设函数.（Ⅰ）证明,其中为k为整数；（Ⅱ）设为的一个极值点，证明；（Ⅲ）设在(0,+
6、∞)内的全部极值点按从小到大的顺序排列,证明（22）解：（Ⅰ）证明：由函数的定义，对任意整数，有（验证法）．（Ⅱ）证明：函数在定义域上可导，①令，得．显然，对于满足上述方程的有，上述方程化简为．此方程一定有解．的极值点一定满足．由，得．因此，．(先用分析法)（Ⅲ）证明：设是的任意正实数根，即，则存在一个非负整数，使，即在第二或第四象限内．（数形结合）由①式，在第二或第四象限中的符号可列表如下：的符号为奇数－0＋为偶数＋0－所以满足的正根都为的极值点．由题设条件，，，…，，…为方程的全部正实数根且满足，那么对于
7、，．②由于，，则，由于，由②式知．由此可知必在第二象限，即．综上，．22．（本题满分15分）已知函数在上的最小值为，，是函数图像上的两点，且线段的中点P的横坐标为.（1）求证：点P的纵坐标是定值;（2）若数列的通项公式为,求数列的前m项和；（3）设数列满足:，设，若（2）中的满足对任意不小于2的正整数n,恒成立,试求m的最大值.22．(本题满分15分)（分类讨论）解:（1）当时，在上单调递减，又的最小值为，∴，得t=1;当时，在上单调递增，又的最小值为，∴，得t=2（舍）;当t=0时，（舍），∴t=1,.∵∴
8、，∴，即p点的纵坐标为定值。（2）由(1)可知,,所以,即由,…①得…②（倒序相加法）由①＋②,得∴（3）∵,……③∴对任意的.……④由③、④,得即.（裂项相消法）∴.∵∴数列是单调递增数列.∴关于n递增.当,且时,.∵∴∴即∴∴m的最大值为6.BNFANCNOXY重庆卷如图，对每个正整数，是抛物线上的点，过焦点的直线交抛物线于另一点．（Ⅰ）试证：；（Ⅱ）取，并记为抛物线上分别以与为切点的两条切线的
