高考数学压轴题精选(一)(老师用)

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1、高考数学压轴题精选(一)1．（本小题满分12分）设函数在上是增函数。求正实数的取值范围；设，求证：解：（1）对恒成立，对恒成立又为所求。（2）取，，一方面，由（1）知在上是增函数，即另一方面，设函数∴在上是增函数且在处连续，又∴当时，∴即综上所述，2．已知椭圆C的一个顶点为，焦点在x轴上，右焦点到直线的距离为（1）求椭圆C的方程；（2）过点F（1，0）作直线l与椭圆C交于不同的两点A、B，设，若的取值范围。解：（1）由题意得：…………………1分由题意所以椭圆方程为………………………3分（2）容易验证直线l的斜率不为0。故可设直线l的方程为中，得设则………

2、……………………5分∵∴有由…………7分∵又故……………………………………………………8分令∴，即∴而，∴∴………………………………………………………10分3．设函数（1）若时函数有三个互不相同的零点，求的范围；（2）若函数在内没有极值点，求的范围；（3）若对任意的，不等式在上恒成立，求实数的取值范围．解：（1）当时，因为有三个互不相同的零点，所以，即有三个互不相同的实数根。令，则。因为在和均为减函数，在为增函数，的取值范围（2）由题可知，方程在上没有实数根，因为，所以（3）∵，且，∴函数的递减区间为，递增区间为和；当时，又，∴而∴，又∵在上恒成立，∴，

3、即，即在恒成立。∵的最小值为4．（本题满分14分）已知椭圆的离心率为，直线与以原点为圆心、以椭圆的短半轴长为半径的圆相切。（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设椭圆的左焦点为F1，右焦点为F2，直线过点F1，且垂直于椭圆的长轴，动直线垂直于点P，线段PF2的垂直平分线交于点M，求点M的轨迹C2的方程；（Ⅲ）若AC、BD为椭圆C1的两条相互垂直的弦，垂足为右焦点F2，求四边形ABCD的面积的最小值．解：（Ⅰ）相切∴椭圆C1的方程是…………3分（Ⅱ）∵MP=MF2，∴动点M到定直线的距离等于它到定点F2（2，0）的距离，∴动点M的轨迹C是以为准线，F2为焦点的抛物线∴

4、点M的轨迹C2的方程为…………6分（Ⅲ）当直线AC的斜率存在且不为零时，设直线AC的斜率为k，，则直线AC的方程为联立所以…．9分由于直线BD的斜率为代换上式中的k可得∵，∴四边形ABCD的面积为……．．12分由所以时取等号．…………13分易知，当直线AC的斜率不存在或斜率为零时，四边形ABCD的面积5．（本小题满分14分）已知椭圆＋＝1（a>b>0）的左．右焦点分别为F1．F2，离心率e＝，右准线方程为x＝2．（1）求椭圆的标准方程；（2）过点F1的直线l与该椭圆相交于M．N两点，且

5、＋

6、＝，求直线l的方程．解析：（1）由条件有解得a＝，c＝1．∴b＝

7、＝1．所以，所求椭圆的方程为＋y2＝1．（2）由（1）知F1（－1,0）．F2（1,0）．若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x＝－1，将x＝－1代入椭圆方程得y＝±．不妨设M．N，∴＋＝＋＝（－4,0）．∴

8、＋

9、＝4，与题设矛盾．∴直线l的斜率存在．设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y＝k（x＋1）．设M（x1，y1）．N（x2，y2），联立消y得（1＋2k2）x2＋4k2x＋2k2－2＝0．由根与系数的关系知x1＋x2＝，从而y1＋y2＝k（x1＋x2＋2）＝．又∵＝（x1－1，y1），＝（x2－1，y2），∴＋＝（x1＋x2－2，y1＋y2）．

10、∴

11、＋

12、2＝（x1＋x2－2）2＋（y1＋y2）2＝2＋2＝．∴＝2．化简得40k4－23k2－17＝0，解得k2＝1或k2＝－（舍）．∴k＝±1．∴所求直线l的方程为y＝x＋1或y＝－x－1．6.（本小题满分12分）已知，函数，（其中为自然对数的底数）．（1）判断函数在区间上的单调性；（2）是否存在实数，使曲线在点处的切线与轴垂直?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．解（1）：∵，∴．令，得．①若，则，在区间上单调递增.②若，当时，，函数在区间上单调递减，当时，，函数在区间上单调递增，③若，则，函数在区间上单调递减.……6分（2）解：∵，，由（1）

13、可知，当时，．此时在区间上的最小值为，即．当，，，∴．曲线在点处的切线与轴垂直等价于方程有实数解．而，即方程无实数解．故不存在，使曲线在处的切线与轴垂直……12分7．（本小题满分12分）已知线段，的中点为，动点满足（为正常数）．（1）建立适当的直角坐标系，求动点所在的曲线方程；（2）若，动点满足，且，试求面积的最大值和最小值．解（1）以为圆心，所在直线为轴建立平面直角坐标系.若，即，动点所在的曲线不存在；若，即，动点所在的曲线方程为；若，即，动点所在的曲线方程为.……4分(2)当时，其曲线方程为椭圆.由条件知两点均在椭圆上，且设，，的斜率为，则的方程为，

14、的方程为解方程组得，同理可求得，面积=………………8分令则令所以，即当时，可求得