微分方程的积分因子解法【毕业论文】

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1、（20__届）本科毕业设计数学与应用数学微分方程的积分因子解法18目录引言………………………………………………………………………………11.两个基本概念1.1恰当方程………………………………………………………………11.2积分因子………………………………………………………………22.特殊形式的积分因子的求法2.1方程存在只与x或y有关的积分因子的充要条件…………………22.2方程存在给定形式的积分因子的充要条件…………………………33.求解实例（一）……………………………………………………………44.较复杂方程的积分因子的求法……………………………………………95.求解实例（二

2、）……………………………………………………………10致谢……………………………………………………………………………17参考文献………………………………………………………………………1818微分方程的积分因子解法摘要：恰当微分方程可以通过积分求出它的通解.因此能否将一个非恰当微分方程化为恰当微分方程就有很大的意义.积分因子就是为了解决这个问题而引进的概念.关键词：常微分方程；恰当方程；积分因子；引言在学习常微分方程理论时，总是对不同类型的方程给出不同的解法.能否有一种普遍的方法能解各种类型的微分方程呢？著名的美国数学史家M·克莱因在所著的《古今数学思想》中写到：“总的说来，这门学

3、科还是各种类型的鼓励技巧的汇编”，然而寻求普遍解法的努力从十八世纪就一直没有停止过.Euler在其论文中指出：凡是可用变量分离法的地方可以用积分因子法.由此本文对教材中常见类型的一阶常微分方程，包括可分离变量方程、齐次方程、一阶线性微分方程、贝努利方程等，讨论用“积分因子法”求解的一般方法.1两个基本概念1.1恰当方程[2]求解方程：时，平常看待x、y，将上述方程写为下述对称形式：有时会更方便一些.现在我们考虑比上述方程更一般的对称形式的微分方程：.（1.1）注意：在关于这种方程的求解问题中，既可视x为自变量，又可视y为自变量，这要根据具体情况使其方便而定.若方程（1.1）的左

4、端恰好是某个二元函数的全微分，即，则称方程（1.1）是恰当方程（或全微分方程）.1.2积分因子[5]18定义：如果存在连续可微的函数，使得（1.2）为一恰当微分方程，即存在函数，使则称为方程的积分因子.2特殊形式的积分因子的求法2.1方程（1.1）存在只与x或y有关的积分因子的充要条件：若方程（1.1）存在只与x有关的积分因子，则，这时方程（1.1）变为：即（2.1）由此即知：方程（1.1）存在只与x有关的积分因子（2.2）这里仅是x的（连续）函数.假如条件（2.2）成立，则由（2.1）即可求得方程（1.1）的一个积分因子为：同理可求得方程（1.1）存在只与y有关的积分因子.这

5、里仅是y的（连续）函数，从而可求方程（1.1）有仅与y有关的一个积分因子为：.2.2方程（1.1）存在给定形式的积分因子的充要条件：方程（1.1）存在给定形式的积分因子（具有一阶连续偏导数）18（2.3）这里仅是z的（连续）函数.事实上，因（2.4）（2.5）故将（2.4）（2.5）代入，得即（2.6）.由此可知：方程（1.1）存在给定形式的积分因子（具有一阶连续偏导数），这里仅是z的（连续）函数.假如（2.3）成立，则由（2.6）可求方程（1.1）的一个给定形式的积分因子为：.3求解实例（一）例1试用积分因子法求可分离变量方程：18（3.1）的通解.解：方程（3.1）的对称形

6、式为：（3.2）易知（3.2）存在与y有关的积分因子，且.故当时，方程（3.2），也就是（3.1）相应与的恰当方程为：两边积分，得（c为任意常数）这就是方程（3.1）的通解.例2试求齐次方程：（3.3）的积分因子.解：当时，方程（3.3）后改写为：（3.4）方程（3.4）的对称形式为：（3.5）方法一（直接利用例1的结果）：令，则，代入（11），得.（3.5）18（3.5），得（3.6）将（3.6）与（3.1）加以比较即知：（14）的积分因子为：.（3.7）于是，方程（3.3）的积分因子为：（3.8）或者（3.9）（其中，）方法二（直接利用给定形式的积分因子公式）：由方程（3.

7、5）的形式特点易推知具有给定形式的积分因子，且由公式（2.6）及（3.5），有（3.10）于是，方程（3.3）的积分因子为：（3.11）18在这里，我们用上述两种方法求出齐次方程（3.3）的两个不同的积分因子（3.9）或（3.8），据此我们可顺便求出方程（3.3）的通解，看它们是否亦不同.由方法一知：方程（3.7）的积分因子为（3.8），故方程（3.7）相应于（3.8）的恰当方程为：两边积分，得（为不等于零的常数）.故再由方程（3.6）即知：方程（3.3）的通解为：（c为任意常数）.其中，.