微积分及其应用第三章习题解答

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1、1.（1）===14.03（2）2.（1）====(2)(3)=(4)3.(1)=(2)(3)=(4)=4.(1)==(2)==5.解：6（1）首先判断函数的连续性时连续，时连续，在时，由于所以函数在处连续下面判断可导性在处===由于故函数在处可导（2）函数在处不连续，从而在处不可导。(3)由于即所以函数在处连续。又由于即所以函数f(x)在处可导(4)由于所以函数在处连续又由于则所以在处不可导7解：时时时所以在处可导且且8解：由于处连续故又由于在处可导故只需时，函数在处可导9解：由于又由于在处连续，所以

2、则10解：由于则故在处的切线方程为在法线方程为11解：要使只需即解得和则在和处抛物线12解：在处由于为有界函数，则由于故13.证明：在曲线上任取一点（），曲线在处的切线方程为令解得令解得所以，切线与两坐标轴围成的三角形面积为由的任意性即证结论成立练习3.21.求下列函数的导数2.（1）.由于所以（2）.由于故(3).由于故3.4.(1)方程两边关于求导解出得（2）方程两边关于求导解出得（3）方程两边关于求导解出（4）方程两边关于求导解出得5.(1)方程两边取自然对数则（2）方程两边取自然对数上式两边关于

3、求导则（3）方程两边取自然对数上式两边关于求导则（4）方程两边取自然对数上式两边关于求导则6.（1）由参变量方程求导法则可得（2）（3）（4）7.解：在等式中令，则故由导数定义得：8.解：由于在处连续，则故又由于有连续的导数，且当时当时则当时即联立求解可得：9.对方程两边取自然对数得对上式两边关于求导解出，可得10.解：由于故11.解：由于又当时当时在处故12.（1）（2）(3)(4)13.(1)设可导，且对上式两边关于求导，且由复合函数的求导法则可得即可知为奇函数（2）不妨设可导，且为奇函数。则上式两

4、边关于求导即则函数为偶函数（3）不妨设可导且周期为,则对任意的，有对上式两边关于求导，则则知仍为周期函数，且周期为。14.解：设圆的半径为，则由于与都是时间的函数，且3.41.解：由于所以又由于则故2.（1）（2）（3）（4）（5）对两边关于求导解出则3.（1）（2）（3）（4）（5）（6）4.解：由则（1）令，，则（2）令，，（3）令，，（4）令，，5.解：（1）令，，，则当很小时，由近似公式可得（2）解：令，，，则当很小时，由近似公式可得6.解：由于则7.解：令球的半径为，体积为，则可知是的函数。，

5、，则由近似公式3.51.证明：由于在上连续，在内处处存在，且。故在上满足罗尔定理。则在内至少存在一点，使得即解得证明：由于函数在上连续，在内处处存在，且。则令解得3.证明：由于和在上连续，且和在内处处存在，且在内恒不等于0.则在上满足柯西中值定理，且令解出则满足条件中的4、解：由于在、、内连续，且在区间、、内可导，且、、，可见在、、内满足罗尔定理的条件，这由罗尔定理可知，在、、内至少存在一个，使得，则可知至少有三个根，又由于是三次方程，故只有三个根。5．（1）令易见在上连续，且在内可导，则由拉格朗日中值

6、定理，存在.使得又由于，则即6.令，易见在上连续，在内可导，则由拉格朗日中值定理，存在，使得又由于，则即又由于，则即则6.（1）证明：令由于在上连续，在内可导，且在上由罗尔定理可得又由于故对任意的，，即证。（2）令由于在上连续，在内可导，且对任意的=0又由于故对任意的7.证明：令由题意在内连续，在内可导，且则，由罗尔定理可得，在内存在一点，使得故方程至少有一根介于0与之间。（2）证明：令，易见、在上连续，在内可导，则由柯西中值定理可得，存在使得即整理可得，即证。8．证明：由于，由题意可得：在上连续，在内

7、可导，且，则由罗尔定理，在内至少存在，使得同理，在上连续，在内可导，且，在内至少存在一点，使得让在上应用罗尔定理，则存在，使得，即证。9．解：由于不妨猜想下面用数学归纳法证明猜想成立。当n=1时，显然成立。当n=k时，当时==则证猜想成立。故则的n阶迈克劳林展示为==习题3.6练习3.61.求下列极限（1）；（2）（为常数）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）.解(1)从而(2)（3）(4)（5）（6）(7)由于则故有（8）(9)由于则故有(10)（太难！）2.求下列极限：

8、（1）；（2）;（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）.解（1）(2)（3）(4)(太难)(5)由于则(6)(7)由于.(8)由于则(9)由于则(10)3.求下列极限（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）（）.解(1)由于且则(2)(3)(4)其中(5)由于则(6)(太难)4.验证下列极限存在，但不能用洛必达法则求出.（1）；（2）.证明：由于则但是(2)但是5.求下列极限：（1）；（2）；（3）；（4）解