线面角与面面角

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1、线面角与面面角一、知识与方法要点：1．斜线与平面所成的角就是斜线与它在平面内的射影的夹角。求斜线与平面所成的角关键是找到斜线在平面内的射影，即确定过斜线上一点向平面所作垂线的垂足，这时经常要用面面垂直来确定垂足的位置。若垂足的位置难以确定，可考虑用其它方法求出斜线上一点到平面的距离。2．二面角的大小用它的平面角来度量，求二面角大小的关键是找到或作出它的平面角(要证明)。作二面角的平面角经常要用三垂线定理，关键是过二面角的一个面内的一点向另一个面作垂线，并确定垂足的位置。若二面角的平面角难以作出，可考

2、虑用射影面积公式求二面角的大小。3．判定两个平面垂直，关键是在一个平面内找到一条垂直于另一个平面的直线。两个平面垂直的性质定理是：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．二、例题例1．正方体ABCD-A1B1C1D1中，M为C1D1中点．(1)求证：AC1⊥平面A1BD．(2)求BM与平面A1BD成的角的正切值．解：(1)连AC，∵C1C⊥平面ABCD，∴C1C⊥BD．又AC⊥BD，∴AC1⊥BD．同理AC1⊥A1B∵A1B∩BD=B．∴AC1⊥平面A1BD．(2)设

3、正方体的棱长为，连AD1，AD1交A1D于E，连结ME，在△D1AC1中，ME∥AC1，∵AC1⊥平面A1BD．∴ME⊥平面A1BD．连结BE，则∠MBE为BM与平面A1BD成的角．在中，，，∴．例2．如图，把等腰直角三角形ABC以斜边AB为轴旋转，使C点移动的距离等于AC时停止，并记为点P．（1）求证：面ABP⊥面ABC；（2）求二面角C-BP-A的余弦值．证明（1） 由题设知AP＝CP＝BP．∴点P在面ABC的射影D应是△ABC的外心，即D∈AB．∵PD⊥AB，PD面ABP，由面面垂直的判定定理

4、知，面ABP⊥面ABC．（2）解法1 取PB中点E，连结CE、DE、CD．∵△BCP为正三角形，∴CE⊥BD．△BOD为等腰直角三角形，∴DE⊥PB．∴∠CED为二面角C-BP-A的平面角．又由（1）知，面ABP⊥面ABC，DC⊥AB，AB＝面ABP∩面ABC，由面面垂直性质定理，得DC⊥面ABP．∴DC⊥DE．因此△CDE为直角三角形．设，则，，．例3．如图所示，在正三棱柱中，，截面侧面．(1)求证：；(2)若，求平面与平面所成二面角(锐角)的度数．证明：在截面A1EC内，过E作EG⊥AC，G是垂

5、足，如图，∵面AEC⊥面AC，∴EG⊥侧面AC．取AC的中点F，分别连结BF和FC，由AB＝BC得BF⊥AC．∵面ABC⊥侧面AC，∴BF⊥侧面AC，得BF∥EG．BF和EG确定一个平面，交侧面AC于FG．∵BE∥侧面AC，∴BE∥FG，四边形BEGF是，BE＝FG．∴BE∥AA，∴FG∥AA，△AAC∽△FGC．解：(2)分别延长CE和C1B1交于点D，连结AD．∵∠BAC＝∠BCA＝60°，∴∠DAC＝∠DAB＋∠BAC＝90°，即DA⊥AC．∵CC⊥面ACB，由三垂线定理得DA⊥AC，所以∠C

6、AC是所求二面角的平面角．且∠ACC＝90°．∵CC＝AA＝AB＝AC，∴∠CAC＝45°，即所求二面角为45°．说明：如果改用面积射影定理，则还有另外的解法．三、作业：1．已知平面a的一条斜线a与平面a成q角，直线bÌa，且a,b异面，则a与b所成的角为（A）A．有最小值q，有最大值B．无最小值，有最大值。C．有最小值q，无最大值D．有最小值q，有最大值p-q。2．下列命题中正确的是（D）A．过平面外一点作该平面的垂面有且只有一个B．过直线外一点作该直线的平行平面有且只有一个C．过直线外一点作该直

7、线的垂线有且只有一条D．过平面外的一条斜线作该平面的垂面有且只有一个3．一条长为60的线段夹在互相垂直的两个平面之间，它和这两个平面所成的角分别为45°和30°，这条线段的两个端点向平面的交线引垂线，则垂足间的距离是（A）A．30B．20C．15D．124．设正四棱锥S—ABCD的侧棱长为，底面边长为，E是SA的中点，则异面直线BE与SC所成的角是（C）A．30°B．45°C．60°D．90°5．正四面体ABCD中，E是AD边的中点，求：CE与底面BCD所成角的正弦值．解 过A，E分别作AH⊥面BC

8、D，EO⊥面BCD，H，O为垂足，∴AH2OE，AH，OE确定平面AHD，连结OC，∠ECO即为所求．∵AB=AC=AD，∴HB=HC=HD∵△BCD是正三角形，∴H是△BCD的中心，连结DH并延长交BC于F，F为BC的中点，，在Rt△ADH中，6．在四面体ABCD中，DA⊥面ABC，∠ABC＝90°，AE⊥CD，AF⊥DB．求证：（1）EF⊥DC；（2）平面DBC⊥平面AEF．证明 如图1-83．（1）∵AD⊥面ABC．∴AD⊥BC．又∵∠ABC＝90°．∴BC⊥A