2020版新设计一轮复习数学（理）江苏专版讲义：第九章 第六节 双 曲 线 含答案

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1、第六节双_曲_线1．双曲线的定义平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于F1F2)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．集合P＝{M

2、

3、MF1－MF2

4、＝2a}，F1F2＝2c，其中a，c为常数且a＞0，c＞0.(1)当2a＜F1F2时，P点的轨迹是双曲线；(2)当2a＝F1F2时，P点的轨迹是两条射线；(3)当2a＞F1F2时，P点不存在．2．双曲线的标准方程和几何性质x2y2y2x2标准方程－＝1(a＞0，b＞0)－＝1(a＞0，

5、b＞0)a2b2a2b2图形范围x≤－a或x≥a，y∈Ry≤－a或y≥a，x∈R对称轴：坐标轴对称性对称中心：原点顶点顶点坐标：A1(－a,0)，A2(a,0)顶点坐标：A1(0，－a)，A2(0，a)ba渐近线y＝±xy＝±xab性质c离心率e＝，e∈(1，＋∞)aa，b，c的关系c2＝a2＋b2线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长A1A2＝2a；线段B1B2叫做实虚轴双曲线的虚轴，它的长B1B2＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长[小题体验]1．双曲线x2－5y2＝10的焦距为

6、________．x2y2解析：∵双曲线的标准方程为－＝1，∴a2＝10，b2＝2，∴c2＝a2＋b2＝12，c＝23，故焦102距为43.答案：432．双曲线2x2－y2＝8的实轴长为________．x2y2解析：双曲线2x2－y2＝8的标准方程为－＝1，实轴长为2a＝4.48答案：4x2y23．已知双曲线－＝1的右焦点为(3,0)，则该双曲线的离心率等于________．a25解析：∵右焦点为(3,0)，∴c＝3.∴a2＝c2－b2＝9－5＝4，∴a＝2，∴e＝c＝3.a23答案：21．双曲线

7、的定义中易忽视2a＜F1F2这一条件．若2a＝F1F2，则轨迹是以F1，F2为端点的两条射线，若2a＞F1F2，则轨迹不存在．2．双曲线的标准方程中对a，b的要求只是a＞0，b＞0，易误认为与椭圆标准方程中a，b的要求相同．若a＞b＞0，则双曲线的离心率e∈(1，2)；若a＝b＞0，则双曲线的离心率e＝2；若0＜a＜b，则双曲线的离心率e∈(2，＋∞)．3．注意区分双曲线中的a，b，c大小关系与椭圆中的a，b，c关系，在椭圆中a2＝b2＋c2，而在双曲线中c2＝a2＋b2.b4．易忽视渐近线的斜率与

8、双曲线的焦点位置关系．当焦点在x轴上，渐近线斜率为±，当焦aa点在y轴上，渐近线斜率为±.b[小题纠偏]x2y21．设P是双曲线－＝1上一点，F1，F2分别是双曲线左、右两个焦点，若PF1＝9，则1620PF2等于________．解析：由题意知PF1＝9＜a＋c＝10，所以P点在双曲线的左支，则有PF2－PF1＝2a＝8，故PF2＝PF1＋8＝17.答案：17x22．若a＞1，则双曲线－y2＝1的离心率的取值范围是________．a2a2＋1解析：由题意得双曲线的离心率e＝.aa2＋11即e2＝

9、＝1＋.a2a21因为a＞1，所以0＜＜1，a21所以1＜1＋＜2，所以1＜e＜2.a2答案：(1，2)3．离心率为3，且经过(－3，2)的双曲线的标准方程为________．x2y2解析：当双曲线的焦点在x轴上时，设方程为－＝1.a2b2c＝3，aa2＝1，则有34解得－＝1，2a2b2b＝2.a2＋b2＝c2.y2所以所求双曲线的标准方程为x2－＝1.2y2x2当双曲线焦点在y轴上时，设方程为－＝1.a2b2c＝3，a25a＝，则有43解得2－＝1，a2b2b2＝5.a2＋b2＝c2.2yx2所

10、以所求双曲线的标准方程为－＝1.5522y2yx2答案：x2－＝1或－＝12552考点一双曲线的标准方程基础送分型考点——自主练透[题组练透]x2y21．若方程＋＝1(k∈R)表示双曲线，则k的取值范围是________．k－3k＋3解析：依题意可知(k－3)(k＋3)＜0，解得－3＜k＜3.答案：(－3,3)x2y252．已知双曲线C：－＝1的离心率e＝，且其右焦点为F2(5,0)，则双曲线C的标准方程a2b24为________．解析：因为所求双曲线的右焦点为Fc52222(5,0)且离心率

11、为e＝＝，所以c＝5，a＝4，b＝c－aa4x2y2＝9，所以所求双曲线的标准方程为－＝1.169x2y2答案：－＝11693．若以F1(－3，0)，F2(3，0)为焦点的双曲线过点(2,1)，则该双曲线的标准方程为________．41x2y22－2＝1，ab解析：依题意，设题中的双曲线方程是－＝1(a＞0，b＞0)，则有a2b222a＋b＝3，解得a2＝2，b2＝1.x2因此该双曲线的标准方程是－y2＝1.2x2答案：－y2＝12x24．(2019·苏锡常镇调研)