2020版新设计一轮复习数学（理）江苏专版讲义：第九章 第一节 直线与方程 含答案

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1、第一节直线与方程1．直线的倾斜角(1)定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，把x轴所在的直线绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转过的最小正角称为这条直线的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.(2)范围：直线l倾斜角的取值范围是[0，π)．2．斜率公式(1)直线l的倾斜角为α，则斜率k＝tan_α.(2)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线l上，且x1≠x2，则l的斜率k＝.3．直线方程的五种形式名称方程适用范围点斜式y－y0＝k(x－x0)不含直线x＝x0斜截式y＝kx＋b不含垂直于x轴的直线两点式＝不含直线x＝x1(x1

2、≠x2)和直线y＝y1(y1≠y2)截距式＋＝1不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式Ax＋By＋C＝0，A2＋B2≠0平面内所有直线都适用[小题体验]1．若过点M(－2，m)，N(m,4)的直线的斜率等于1，则m的值为________．答案：12．已知a≠0，直线ax＋my－5m＝0过点(－2,1)，则此直线的斜率为________．答案：23．已知三角形的三个顶点A(－5,0)，B(3，－3)，C(0,2)，则BC边上中线所在的直线方程为________．解析：由已知，得BC的中点坐标为，且直线BC边上的中线过点A，则BC边上中线的斜率k＝－，故BC边上的中线所在直线方

3、程为y＋＝－，即x＋13y＋5＝0.答案：x＋13y＋5＝04．已知直线l：ax＋y－2－a＝0在x轴和y轴上的截距相等，则实数a＝________.解析：令x＝0，则l在y轴的截距为2＋a；令y＝0，得直线l在x轴上的截距为1＋.依题意2＋a＝1＋，解得a＝1或a＝－2.答案：1或－21．点斜式、斜截式方程适用于不垂直于x轴的直线；两点式方程不能表示垂直于x，y轴的直线；截距式方程不能表示垂直于坐标轴和过原点的直线．2．截距不是距离，距离是非负值，而截距可正可负，可为零，在与截距有关的问题中，要注意讨论截距是否为零．3．求直线方程时，若不能断定直线是否具有斜率时，应注意

4、分类讨论，即应对斜率是否存在加以讨论．[小题纠偏]1．若直线l经过点A(1,2)，且倾斜角是直线y＝x＋3的倾斜角的2倍，则直线l的方程为____________．解析：因为直线y＝x＋3的倾斜角为α＝45°，所以所求直线l的倾斜角为2α＝90°，所以直线l的方程为x＝1.答案：x＝12．过点M(3，－4)，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为________．解析：①若直线过原点，则k＝－，所以y＝－x，即4x＋3y＝0.②若直线不过原点．设＋＝1，即x＋y＝a.则a＝3＋(－4)＝－1，所以直线的方程为x＋y＋1＝0.答案：4x＋3y＝0或x＋y＋1＝0　[题组练透

5、]1．(2019·启东中学检测)倾斜角为135°，在y轴上的截距为－1的直线方程是________．解析：直线的斜率为k＝tan135°＝－1，所以直线方程为y＝－x－1，即x＋y＋1＝0.答案：x＋y＋1＝02．(2018·绥化一模)直线xsinα＋y＋2＝0的倾斜角的取值范围是________．解析：因为直线xsinα＋y＋2＝0的斜率k＝－sinα，又－1≤sinα≤1，所以－1≤k≤1.设直线xsinα＋y＋2＝0的倾斜角为θ，所以－1≤tanθ≤1，而θ∈[0，π)，故倾斜角的取值范围是∪.答案：∪3．若点A(4,3)，B(5，a)，C(6,5)三点共线，则a的

6、值为________．解析：因为kAC＝＝1，kAB＝＝a－3.由于A，B，C三点共线，所以a－3＝1，即a＝4.答案：44．已知线段PQ两端点的坐标分别为P(－1,1)和Q(2,2)，若直线l：x＋my＋m＝0与线段PQ有交点，则实数m的取值范围是________．解析：如图所示，直线l：x＋my＋m＝0过定点A(0，－1)，当m≠0时，kQA＝，kPA＝－2，kl＝－.结合图象知，若直线l与PQ有交点，应满足－≤－2或－≥.解得0＜m≤或－≤m＜0；当m＝0时，直线l的方程为x＝0，与线段PQ有交点．所以实数m的取值范围为.答案：[谨记通法]1．倾斜角α与斜率k的关系

7、当α∈且由0增大到时，k的值由0增大到＋∞.当α∈时，k也是关于α的单调函数，当α在此区间内由增大到π(α≠π)时，k的值由－∞趋近于0(k≠0)．2．斜率的2种求法(1)定义法：若已知直线的倾斜角α或α的某种三角函数值，一般根据k＝tanα求斜率．(2)公式法：若已知直线上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，一般根据斜率公式k＝(x1≠x2)求斜率．　[典例引领](1)求过点A(1,3)，斜率是直线y＝－4x的斜率的的直线方程；(2)求经过点A(－5,2)，且在x轴上的截距等于在y轴上截距的2倍的直线方程．解：(1)设所