高中数学第二章函数2.2一次函数和二次函数2.2.2二次函数的性质与图象课堂导学案.

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1、2.2.2二次函数的性质与图象课堂导学三点剖析一、二次函数的图象及性质【例1］二次函数f(x)与g(x)的图象开口大小相同，开口方向也相同.已知函数g(x)的解析式和f(x)图象的顶点，写岀函数f(x)的解析式，函数g(x)=-2(x+l)2,f(x)图象的顶点是(-3,2).思路分析：本题给出了图象的顶点坐标，可以用顶点式设出二次函数，然后求解.解：设f(x)的解析式为y=a(x+h)2+k.因为f(x)与g(x)=-2(x+l)2的图象开口大小相同，开口方向也相同，且g(x)=-2(x+l)2与y=-2/的图彖开口大小相同，开口方向也相同.又因为f(x)图象的顶点是

2、(-3,2),所以f(x)=-2(x+3)2+2=-2x2-12x-16.温馨提示⑴若二次惭数f(x)与g(x)的开口大小一致且开口方向相同，则二次项系数相等;^f(x)与g(x)的开口大小一致且开口方向相反，则二次项系数绝对值相等，符号相反.(2)若二次函数的二次项系数为a,顶点坐标为(h,k),则此二次函数可设为y=a(x-h)2+k.二、二次函数在特定区问上的最值问题【例2］设函数f(x)=x2-2x+2,xW［t,t+1］的最小值为g(t),求g(t)的表达式.思路分析：解决此类问题的关键是数形结合.⑶解:f(x)=x2-2x+2=(x-l)2+l,①当t+lW

3、l,即tWO时,由图(1)知截取减区间上的一S,g(t)=f(t+l)=t2+l;②当l2,即t>l时，由图(3)可知截取增区间上的一S,g(t)=f(t)=t2-2t+2.t2+1,r<0,综上，可知g(t)=1,01.温馨提示(1)从运动的观点来看,令区间［t,t+l］从左向右沿X轴正方向运动，截取抛物线上的相应部分.(2)共截取三种类型:减函数部分、包含顶点的部分、增函数部分.(3)初学这种类型的题目时，要对应三种情况画三个图象，使问题显

4、得直观清晰，随着学习的深入能力得到提高了，可以只画一个图形就行了.三、二次函数恒成立问题【例3］已知函数y=ax2+(a-l)x+—a的图象恒在x轴上方，求实数a的収值范围.4思路分析：要使二次函数图象恒在x轴上方，只需开口向上且与x轴无交点，即r>0,［a0,1解之,得小二［A<0.2综上,可知a>—.2温馨提7K勿忘二次项系数等于0的情况.各个击破类题演练1已知f(x)二x'+2(2-a)x+2在(-8,2］上是减函数,求实数a的取值范围.解析：要使f(x)在(-8,2］上是减函数，由

5、二次函数图象可知只要对称轴x二一"2-边2即可，解得a^4.变式提升1已知函数f(x)=-x2+ax+b+l(a、bWR)对任意实数x都有f(l~x)=f(1+x)成立，若当xW［-l,1］时,f(x)>0恒成立，则b的取值范围是()A.-l2C.b<-l或b>2D.b<-l解析：由f(l-x)=f(l+x),得f(x)图象关于x=l对称,・・・a=2且f(x)在［-1,1］上是增函数.・・・要使xW［-1,1］时,f(x)>0恒成立，只需f(-1)>0,即b-2>0.・・・b〉2.答案：B类题演练29函数f(x)=-3x2-3x+4b2+—,b>0,x

6、e［-b,b］,f(x)的最大值为7,求b的值.4解析:f(x)=-3(x+-)2+4b2+3,当对称轴直线x=--在区间［-b,b］左侧，2211Q即〈-b,b<—时，函数应在x二-b时取得最大值,f(-b)二b'+3b+—•2249由条件，得b?+3b+—二7.4因为b>0,由此求得b=V7-->丄，与b〈丄矛盾.222当对称轴直线x二-丄在区间［-b,b］内通过，2即-bW—丄Wb,2亦即bM丄时，函数f(x)最大值为4b2+3.2由41?十3二7,求得b=l,满足条件.变式提升2求f(x)=x2-2ax-l在区间[0,2]上的最大值和最小值.解析:f(x)=

7、(x-a)2-l-a2,对称轴为x二a.(4)①当a<0时，由图⑴可知f(x).in=f(0)=-1,f(x)max=f(2)=3-4a;②当0Wa2时，由图⑷可知f(x)m=f⑵=3-4a,f(x)nax=f(0)=-l.类题演练3已知二次函数yi=ax2+bx+c(a^O)与一次函数y?二kx+m(kH0)的图象相交于点A(-2,4)、B(&