北京人大附中西山学校2018-2019学年八年级（上）期中数学试卷 （解析版）

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2018北京人大附中西山学校初二（上）期中数学1.在图中，是轴．对．称．图．形．的是（）2.下列五个算式：①x3×(-x)2=x5;②(-a2)3=-a6;③(-2x3)2=-4x6;④(-a)5¸(-a)2=a3;⑤2a3i3a2=6a5中,正确的有（）A．0个B．1个C．2个D．3个3.点P（－3，2）关于x轴对称的点是()．A．(3，2)B．(－3，2)C．(3，－2)D．(－3，－2)4.将a2＋24a＋144因式分解，结果为（）A．（a＋18）（a＋8）B．（a＋12）（a－12）C．（a＋12）2D．（a－12）25.等腰三角形的一个角等于40o，则它的顶角是()．A．40oB．140oC．70oD．70o或40o6.如图，在△ABC中，ÐC=40°，将△ABC沿着直线l折叠，点C落在点D的位置，则∠1－∠2的度数是()A.40°B.80°C.90°D.140°7.下列计算正确的是（）A．（5－m）（5＋m）＝m2－25B．（1－3m）（1＋3m）＝1－3m2C．（－4－3n）（－4＋3n）＝－9n2＋16D．（2ab－n）（2ab＋n）＝2a2b2－n28.如图，把△ABC沿EF对折，叠合后的图形如图所示.若∠A=60°，∠1=95°，则∠2的度数为（）A．24°B．25°C．30°D．35°二．填空题9.计算:（－ab）2=；10.已知xm=a,xn=b,则x3m+2n可以表示为；11.若x2+mx-12=(x+3)(x+n),则m的值；12.点A（2,3）关于y轴成轴对称的点的坐标是；13.如果等腰三角形的两个边长分别为4和8，则它的周长是.14.多项式x2－8x＋k是一个完全平方式，则k＝．15.如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，边AC的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G、若BC=4，则△AEG的周长为16.数学课上，老师提出如下问题：尺规作图：经过已知直线上一点作这条直线的垂线．已知：直线AB和AB上一点C．求作：AB的垂线，使它经过点C． 小艾的作法如下：如图，（1）在直线AB上取一点D，使点D与点C不重合，以点C为圆心，CD长为半径作弧，交AB于D，E两点；（2）分别以点D和点E为圆心，大于DE长为半径作弧，两弧相交于点F；（3）作直线CF．所以直线CF就是所求作的垂线．老师表扬了小艾的作法是对的．请回答：小艾这样作图的依据是．三．解答题：19.因式分解：（1）4a2－9b2（2）25a2b-10ab+b20.乘法计算：（1）(-3x2y)2×xy（2）(x+2)(4x-)21.如图，△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BD是∠ABC的角平分线.证明：AB+AD=BC.22.先化简，再求值：(a2b-2ab2-b3)¸b-(a+b)(a-b)，其中a＝1，b＝－1．23.若2x＋y＝0，求6x2+xy-y2的值 24.求多项式x2+y2-4x+6y+15的最小值为？25．在l上求作一点M，使得AM＋BM最小，并简要说明理由。26.ΔABC和ΔBDE都是等边三角形．（1）求证：AD＝CE；（2）当AC⊥CE时，判断并证明AB与BE的数量关系．27.已知：如图，△ABC，射线AM平分ÐBAC.（1）尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）：作BC的中垂线，与AM相交于点G，连接BG、CG.（2）在（1）的条件下，∠BAC和∠BGC的数量关系为，证明你的结论. 参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．在下图中，是轴对称图形的是（　　）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断后利用排除法求解．【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项错误；B、不是轴对称图形，故本选项错误；C、不是轴对称图形，故本选项错误；D、是轴对称图形，故本选项正确．故选：D．2．下列五个算式：①x3•（﹣x）2＝x5；②（﹣a2）3＝﹣a6；③（﹣2x3）2＝﹣4x6；④（﹣a）5÷（﹣a）2＝a3；⑤2a3•3a2＝6a5中，正确的有（　　）A．0个B．1个C．2个D．3个【分析】直接利用同底数幂的乘除运算法则以及单项式乘以单项式运算法则分别判断得出答案．【解答】解：①x3•（﹣x）2＝x5，正确，符合题意；②（﹣a2）3＝﹣a6，正确，符合题意；③（﹣2x3）2＝4x6，原式计算错误，不符合题意；④（﹣a）5÷（﹣a）2＝﹣a3，原式计算错误，不符合题意；⑤2a3•3a2＝6a5，正确，符合题意； 故选：D．3．和点P（﹣3，2）关于x轴对称的点是（　　）A．（3，2）B．（﹣3，2）C．（3，﹣2）D．（﹣3，﹣2）【分析】根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得答案．【解答】解：点P（﹣3，2）关于x轴对称的点是（﹣3，﹣2），故选：D．4．将a2+24a+144因式分解，结果为（　　）A．（a+18）（a+8）B．（a+12）（a﹣12）C．（a+12）2D．（a﹣12）2【分析】原式利用完全平方公式分解即可．【解答】解：原式＝（a+12）2，故选：C．5．等腰三角形的一个角等于40o，则它的顶角是（　　）A．40oB．140oC．70oD．100o或40o【分析】由等腰三角形中有一个角等于40°，可分别从①若40°为顶角与②若40°为底角去分析求解，即可求得答案．【解答】解：分两种情况讨论：①若40°为顶角，则这个等腰三角形的顶角的度数为40°；②若40°为底角，则这个等腰三角形的顶角的度数为：180°﹣40°×2＝100°．∴这个等腰三角形的顶角的度数为：40°或100°．故选：D．6．如图，在△ABC中，∠C＝40°，将△ABC沿着直线l折叠，点C落在点D的位置，则∠1﹣∠2的度数是（　　） A．40°B．80°C．90°D．140°【分析】由折叠的性质得到∠D＝∠C，再利用外角性质即可求出所求角的度数．【解答】解：由折叠的性质得：∠D＝∠C＝40°，根据外角性质得：∠1＝∠3+∠C，∠3＝∠2+∠D，则∠1＝∠2+∠C+∠D＝∠2+2∠C＝∠2+80°，则∠1﹣∠2＝80°．故选：B．7．下列计算正确的是（　　）A．（5﹣m）（5+m）＝m2﹣25B．（1﹣3m）（1+3m）＝1﹣3m2C．（﹣4﹣3n）（﹣4+3n）＝﹣9n2+16D．（2ab﹣n）（2ab+n）＝2a2b2﹣n2【分析】原式各项利用平方差公式计算得到结果，即可做出判断．【解答】解：A、原式＝25﹣m2，错误；B、原式＝1﹣9m2，错误； C、原式＝16﹣9n2，正确；D、原式＝4a2b2﹣n2，错误．故选：C．8．如图，把△ABC沿EF对折，叠合后的图形如图所示．若∠A＝60°，∠1＝95°，则∠2的度数为（　　）A．24°B．25°C．30°D．35°【分析】首先根据三角形内角和定理可得∠AEF+∠AFE＝120°，再根据邻补角的性质可得∠FEB+∠EFC＝360°﹣120°＝240°，再根据由折叠可得：∠B′EF+∠EFC′＝∠FEB+∠EFC＝240°，然后计算出∠1+∠2的度数，进而得到答案．【解答】解：∵∠A＝60°，∴∠AEF+∠AFE＝180°﹣60°＝120°，∴∠FEB+∠EFC＝360°﹣120°＝240°，∵由折叠可得：∠B′EF+∠EFC′＝∠FEB+∠EFC＝240°，∴∠1+∠2＝240°﹣120°＝120°，∵∠1＝95°，∴∠2＝120°﹣95°＝25°，故选：B．二．填空题（共8小题）9．计算：（﹣ab）2＝　a2b2　．【分析】根据积的乘方的性质求解即可． 【解答】解：（﹣ab）2＝a2b2．故答案为a2b2．10．已知xm＝a，xn＝b，则x3m+2n可以表示为　a3b2　．【分析】首先根据：xm＝a，xn＝b，可得：x3m＝a3，x2n＝b2，然后根据同底数幂的乘法的运算方法，求出x3m+2n可以表示为多少即可．【解答】解：∵xm＝a，xn＝b，∴x3m＝a3，x2n＝b2，∴x3m+2n＝a3b2．故答案为：a3b2．11．若x2+mx﹣12＝（x+3）（x+n），则m的值　﹣1　．【分析】已知等式右边利用多项式乘以多项式法则计算，再利用多项式相等的条件求出m的值即可．【解答】解：已知等式整理得：x2+mx﹣12＝（x+3）（x+n）＝x2+（n+3）x+3n，∴m＝n+3，﹣12＝3n，解得：m＝﹣1，n＝﹣4，故答案为：﹣112．点（2，3）关于y轴对称的点的坐标为　（﹣2，3）　．【分析】平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于y轴的对称点的坐标是（﹣x，y），即关于纵轴的对称点，纵坐标不变，横坐标变成相反数．【解答】解：点（2，3）关于y轴对称的点的坐标是（﹣2，3），故答案为（﹣2，3）．13．如果等腰三角形的两边长分别是4、8，那么它的周长是　20　．【分析】解决本题要注意分为两种情况4为底或8为底，还要考虑到各种情况是否满足三角形的三边关系来进行解答． 【解答】解：∵等腰三角形有两边分别分别是4和8，∴此题有两种情况：①4为底边，那么8就是腰，则等腰三角形的周长为4+8+8＝20，②8底边，那么4是腰，4+4＝8，所以不能围成三角形应舍去．∴该等腰三角形的周长为20，故答案为：2014．多项式x2﹣8x+k是一个完全平方式，则k＝　16　．【分析】根据完全平方公式的灵活应用，这里中间项为减去x和4的乘积的2倍，那么末项是4的平方．【解答】解：∵x2﹣8x+k是一个完全平方式，∴k＝＝16，故答案为16．15．如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，边AC的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G．若BC＝4cm，则△AEG的周长是　4　cm．【分析】要求周长，首先要求线段的长，利用垂直平分线的性质计算．【解答】解：因为AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，所以AE＝BE，因为AC的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G，所以AG＝GC，△AEG的周长为AE+EG+AG＝BE+EG+CG＝BC＝4cm．故填4． 16．阅读下面材料：数学课上，老师提出如下问题：尺规作图：经过已知直线上一点作这条直线的垂线．已知：直线AB和AB上一点C．求作：AB的垂线，使它经过点C．小艾的作法如下：如图，（1）在直线AB上取一点D，使点D与点C不重合，以点C为圆心，CD长为半径作弧，交AB于D，E两点；（2）分别以点D和点E为圆心，大于DE长为半径作弧，两弧相交于点F；（3）作直线CF．所以直线CF就是所求作的垂线．老师表扬了小艾的作法是对的．请回答：小艾这样作图的依据是　等腰三角形的“三线合一”，两点确定一条直线　．【分析】直接利用等腰三角形的性质以及直线的性质分析得出答案．【解答】解：分别以点D和点E为圆心，大于DE长为半径作弧，两弧相交于点F，小艾这样作图的依据是等腰三角形的“三线合一”，作直线CF，依据是：两点确定一条直线．故答案为：等腰三角形的“三线合一”，两点确定一条直线．三．解答题（共9小题）17．因式分解：（1）4a2﹣9b2（2）25a2b﹣10ab+b 【分析】（1）直接利用平方差公式计算得出答案；（2）首先提取公因式b，再利用完全平方公式分解因式即可．【解答】解：（1）4a2﹣9b2＝（2a+3b）（2a﹣3b）；（2）25a2b﹣10ab+b＝b（25a2﹣10a+1）＝b（5a﹣1）2．18．乘法计算：（1）（﹣3x2y）2•xy（2）（x+2）（4x﹣）【分析】（1）根据积的乘方法则、单项式乘多项式的运算法则计算即可；（2）根据多项式乘多项式的运算法则计算，得到答案．【解答】解：（1）（﹣3x2y）2•xy＝9x4y2•xy＝3x5y3；（2）（x+2）（4x﹣）＝2x2+8x﹣x﹣1＝2x2+x﹣1．19．如图，△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，BD是∠ABC的角平分线，请你说明AB+AD＝BC．【分析】过D作DE⊥BC于E，根据角平分线性质求出AD＝DE，推出AB＝BE，求出∠C＝∠EDC，推出AD＝DE＝CE，代入求出即可． 【解答】证明：过D作DE⊥BC于E，∵BD平分∠ABC，DE⊥BC，∠DAB＝90°，∴AD＝DE，由勾股定理得：AB2＝BD2﹣AD2，BE2＝BD2﹣DE2，∴AB＝BE，∵∠A＝90°，AC＝AB，∴∠C＝∠ABC＝（180°﹣90°）＝45°，∵DE⊥BC，∴∠DEC＝90°，∴∠EDC＝180°﹣90°﹣45°＝45°＝∠C，∴DE＝EC，∴BC＝BE+CE＝AB+AD．20．先化简，再求值：（a2b﹣2ab2﹣b3）÷b﹣（a+b）（a﹣b），其中a＝1，b＝﹣1．【分析】先算乘法和除法，再合并同类项，最后代入求出即可．【解答】解：（a2b﹣2ab2﹣b3）÷b﹣（a+b）（a﹣b）＝a2﹣2ab﹣b2﹣a2+b2＝﹣2ab，当a＝1，b＝﹣1时，原式＝2．21．若2x+y＝0，求6x2+xy﹣y2的值． 【分析】由2x+y＝0，得到y＝﹣2x，代入原式计算即可求出值．【解答】解：由2x+y＝0，得到y＝﹣2x，代入得：原式＝6x2﹣2x2﹣4x2＝0．22．求多项式x2+y2﹣4x+6y+15的最小值．【分析】利用配方法得到x2+y2﹣4x+6y+15＝（x﹣2）2+（y+3）2+2，然后根据非负数的性质得到代数式的最小值．【解答】解：x2+y2﹣4x+6y+15＝x2﹣4x+4+y2+6y+9+2＝（x﹣2）2+（y+3）2+2，∵（x﹣2）2≥0，（y+3）2≥0，∴（x﹣2）2+（y+3）2+2≥2，∴多项式x2+y2﹣4x+6y+15的最小值为2．23．在l上求作一点M，使得AM+BM最小，并简要说明理由．【分析】作点A根据直线l的对称点A′，连接A′B交直线l于M，连接AM，此时AM+BM的值最小．【解答】解：如图，点M即为所求．步骤：作点A根据直线l的对称点A′，连接A′B交直线l于M，连接AM，此时AM+BM的值最小．24．已知：如图，△ABC和△BDE都是等边三角形．（1）求证：AD＝CE； （2）当AC⊥CE时，判断并证明AB与BE的数量关系．【分析】（1）由△ABC和△BDE都是等边三角形，可以利用SAS判定△ABD≌△CBE，即可得AD＝CE；（2）由AC⊥CE，△ABC和△BDE都是等边三角形，易得△BCE是含30°角的直角三角形的性质，继而求得AB与BE的数量关系．【解答】证明：（1）∵△ABC和△BDE都是等边三角形，∴AB＝CB，BD＝BE，∠ABD＝∠CBE＝60°，在△ABD和△CBE中，，∴△ABD≌△CBE（SAS），∴AD＝CE；（2）AB＝2BE，证明：∵△ABC，△BED是等边三角形，∴∠ACB＝∠DBE＝60°，AB＝BC，∵AC⊥CE，∴∠BCE＝30°，∴∠BEC＝90°， ∴BC＝2BE，∴AB＝2BE．25．已知：如图，△ABC，射线AM平分∠BAC．（1）尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）作BC的中垂线，与AM相交于点G，连接BG、CG．（2）在（1）的条件下，∠BAC和∠BGC的等量关系为　互补　，证明你的结论．【分析】（1）以C、B为圆心，大于BC为半径作弧，两弧交于F、E，作直线FE即为BC的垂直平分线．（2）作MD⊥AB，MK⊥AC，利用角平分线的性质和垂直平分线的性质证全等即可．【解答】解：（1）如图1：（2）互补．证明：作MD⊥AB，MK⊥AC，∵AM为∠BAC的平分线，∴MD＝MK，∵EF为BC的垂直平分线，∴MB＝MC，在△MBD与△MCK中，，∴△MBD≌△MCK（HL），∴∠BMC＝∠DMK， ∵∠DMK+∠BAC＝180°，∴∠BMC+∠BAC＝180°，∴∠BAC和∠BGC互补．故答案为：互补．