空间点、直线、平面的位置关系

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1、2.1.1平面1．已知点P在直线l上，而直线l在平面α内，用符号表示为(　　)．A．P⊂l⊂αB．P∈l∈αC．P⊂l∈αD．P∈l⊂α解析　直线和平面可看作点的集合，点是基本元素．答案　D2．如下四图表示两个相交平面，其中画法正确的是(　　)．解析　对于A，图中没有画出平面α与平面β的交线，另外图中的实线也没有按照画法原则去画，因此A的画法不正确，同理B、C的画法也不正确，D的画法正确．答案　D3．如果直线a⊂平面α，直线b⊂平面α，M∈a，N∈b，M∈l，N∈l，则(　　)．A．l⊂αB．l⊄

2、αC．l∩α＝MD．l∩α＝N解析　据公理1可知：直线l上两点M、N都在平面α内，所以l在平面α内，故选A.答案　A4．下列语句是对平面的描述：①平面是绝对平的且是无限延展的；②一个平面将无限的空间分成两部分；③平面可以看作空间的点的集合，它是一个无限集；④四边形确定一个平面．其中正确的序号是________．解析　根据平面的概念和特征①②③都是从不同的角度对平面的描述，因此都是正确的．④是错误的．如图所示的四边形ABCD四个顶点是不在一个平面内的．答案　①②③5．设平面α与平面β相交于l，直线a

3、⊂α，直线b⊂β，a∩b＝M，则M________l.解析　因为a∩b＝M，a⊂α，b⊂β，所以M∈α，M∈β.又因为α∩β＝l，所以M∈l.答案　∈6．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，试画出平面AB1D1与平面ACC1A1的交线．解　根据公理3，只要找到两平面的两个公共点即可．如图，设A1C1∩B1D1＝O1.∵O1∈A1C1，A1C1⊂平面ACC1A1，∴O1∈平面ACC1A1.又∵O1∈B1D1，B1D1⊂平面AB1D1，∴O1∈平面AB1D1.∴O1是平面ACC1A1与平面AB1D1

4、的公共点．而点A显然也是平面ACC1A与平面AB1D1的公共点．连接AO1，根据公理3知AO1是平面AB1D1与平面ACC1A1的交线.7．如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为DB的中点，直线A1C交平面C1BD于点M，则下列结论错误的是(　　)．A．C1，M，O三点共线B．C1，M，O，C四点共面C．C1，O，A，M四点共面D．D1，D，O，M四点共面解析　在题图中，连接A1C1，AC，则AC∩BD＝O，A1C∩平面C1BD＝M.∴三点C1，M，O在平面C1BD与平面ACC1A1

5、的交线上，即C1，M，O三点共线，∴选项A，B，C均正确，D不正确．答案　D8．在三棱锥A-BCD的各边AB、BC、CD、DA上分别取E、F、G、H四点，如果EF∩HG＝P，则点P(　　)．A．一定在直线BD上B．一定在直线AC上C．在直线AC或BD上D．不在直线AC上，也不在直线BD上解析　如图所示，∵EF⊂平面ABC，HG⊂平面ACD，EF∩HG＝P，∴P∈平面ABC，P∈平面ACD.又∵平面ABC∩平面ACD＝AC，∴P∈AC，故选B.答案　B9．给出下列三个命题：①空间四点共面，则其中必有

6、三点共线；②空间四点中有三点共线，则此四点必共面；③空间四点中任何三点不共线，则此四点不共面．其中正确命题的序号是________．解析　对于命题①③，可用平行四边形的四个顶点来排除．答案　②10．已知平面α∩平面β＝l，点M∈α，N∈α，P∈β，P∉l且MN∩l＝R，过M，N，P三点所确定的平面记为γ，则β∩γ等于________．解析　如图，MN⊂γ，R∈MN，∴R∈γ.又R∈l，∴R∈β.又P∈r，P∈β，∴β∩γ＝PR.答案　直线PR11．求证：两两相交且不共点的四条直线a、b、c、d共面

7、．证明　(1)无三线共点情况，如图(1)．设a∩d＝M，b∩d＝N，c∩d＝P，a∩b＝Q，a∩c＝R，b∩c＝S.因为a∩d＝M，所以a，d可确定一个平面α.因为N∈d，Q∈a，所以N∈α，Q∈α，所以NQ⊂α，即b⊂α.同理c⊂α，所以a，b，c，d共面．②有三线共点的情况，如图(2)．设b，c，d三线相交于点K，与a分别交于N，P，M且K∉a，因为K∉a，所以K和a确定一个平面，设为β.因为N∈a，a⊂β，所以N∈β.所以NK⊂β，即b⊂β.同理c⊂β，d⊂β.所以a，b，c，d共面．由(1

8、)、(2)知a，b，c，d共面．12．(创新拓展)在空间四边形ABCD中，H、G分别是AD、CD的中点，E，F分别是边AB，BC上的点，且＝＝.求证：直线EH、BD、FG相交于一点．证明　连接EF、GH(如图所示)．∵H、G分别是AD、CD的中点，∴GH∥AC，且GH＝AC.∵＝＝，∴EF∥AC，且EF＝AC.∴GH∥EF，且GH≠EF.∴EH与FG相交，设交点为P.∵EH⊂平面ABD，∴P∈平面ABD.同理P∈平面BCD.又∵平面ABD∩平面BCD＝BD，∴P∈BD.∴直线EH、