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《高中数学第一讲坐标系二极坐标系互动课堂学案》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、二 极坐标系互动课堂重难突破一、极坐标的概念1.在生活中,如台风预报、地震预报、测量、航空、航海中等，我们经常用距离和方向来表示一点的位置.用距离和方向表示平面上一点的位置，就是极坐标.2.如图,极坐标系内一点的极坐标的规定：对于平面上任意一点M，用ρ表示线段OM的长度，用θ表示从Ox到OM的角度，ρ叫做M的极径，θ叫做点M的极角，有序数对(ρ,θ)就叫做M的极坐标.把定义弄清楚，我们就会用极坐标确定点的位置.特别注意:(1)①极点,②极轴,③长度单位,④角度单位和它的正方向构成了极坐标系的四要素,缺一不可.(2)特别地,当M在极点时,它的极坐标ρ=0,θ可以取任意值.极点
2、O的坐标为(0,θ)(θ∈R).(3)一般地,不作特殊说明时,ρ≥0,θ可取任意实数.3.建立极坐标系后,给定ρ(ρ≥0)和θ,就可以在平面内唯一确定点M.确定的方法是:(1)由θ定射线.根据θ角确定点M所在的射线OM;(2)由ρ取点.在射线OM上取
3、OM
4、=ρ,点M的位置即可确定.4.给定平面内任意一点M,也可以找到它的极坐标(ρ,θ)(ρ≥0).特别注意:(1)一般地,极坐标(ρ,θ)与(ρ,θ+2kπ)(k∈Z)表示同一个点.和直角坐标不同,平面内一个点的极坐标有无数种表示.(2)如果规定ρ≥0,0≤θ<2π,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标(ρ,θ)表示
5、;同时,极坐标(ρ,θ)表示的点也是唯一确定的.5.为完整起见,现作一补充:若ρ<0,则-ρ>0,我们规定点M(ρ,θ)与点P(-ρ,θ)关于极点对称.点M(ρ,θ)(ρ<0)的位置的确定方法是:(1)由θ定射线.先找出θ角的终边所在的射线,确定其反向延长线OM.(2)由ρ取点.在射线OM上取
6、OM
7、=-ρ,点M的位置即可确定,如图.进一步可以得出,极坐标(ρ,θ)与(ρ,θ+2kπ)(k∈Z)(-ρ,θ+π+2kπ)(k∈Z)表示同一点.应当指出,若ρ<0,应有说明;否则,可认为ρ≥0.二、极坐标和直角坐标的互化平面内的一个点既可以用直角坐标表示,也可以用极坐标表示.我们
8、要理解极坐标的概念,会正确进行点的极坐标与直角坐标的互化,利用两种坐标的互化,可以把不熟悉的问题转化为熟悉的问题.1.互化的前提条件：①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合；②极轴与x轴的正半轴重合；③两种坐标系中取相同的长度单位.2.极坐标与直角坐标的互化公式:x=ρcosθ,y=ρsinθ.ρ2=x2+y2,tanθ=(x≠0).3.极坐标与直角坐标的互化,常用方法有代入法、平方法等,还经常用到同乘以(或除以)ρ等技巧.4.由直角坐标化成极坐标时,要注意点所在象限,从而确定极角θ.试一试：(1)已知点A的极坐标(-4,),求它的直角坐标；(2)已知点B、C、D的直角坐
9、标为(2,-2),(0,-15),(-12,5),求它的极坐标(ρ>0,0≤θ<2π).解：(1)点A的直角坐标为(-2,2).(2)∵ρ=tanθ==-1,且点位于第四象限,(注意!)∴θ=,点B的极坐标为(2,).又∵x=0,y<0,ρ=15,∴点C的极坐标为(15,).对于D(-12,5),ρ=13,tanθ=-.∵D在第二象限内,∴θ=π-arctan.∴D点坐标为(13,π-arctan).活学巧用【例1】已知两点的极坐标A(3,)、B(3,)，则
10、AB
11、=________，AB与极轴正方向所成的角为________.解析:如图,根据极坐标的定义可得
12、AO
13、=
14、
15、BO
16、=3,∠AOB=60°，即△AOB为正三角形.答案:3 点评:在极坐标系中,点P1(ρ1,θ1)、P2(ρ2,θ2)(ρ1、ρ2>0),则P1P2两点距离
17、P1P2
18、=请同学们推导一下.【例2】在极坐标系中，若等边△ABC的两个顶点是A(2,)、B(2,),那么顶点C的坐标可能是( )A.(4,)B.(2,)C.(2,π)D.(3,π)解析:如图,由题设可知A、B两点关于极点O对称，即O是AB的中点.又
19、AB
20、=4，△ABC为正三角形，
21、OC
22、=2，∠AOC=，C对应的极角θ=+=或θ=-=-，即C点极坐标为(23,)或(2,-).答案:B点评:在找点的极坐标时，把
23、图形画出来，可以帮助我们解决问题，从图形中很容易找到极角和极径.这一点跟直角坐标系中的方法是一致的，数形结合.【例3】在极坐标系中与点A(3,-)关于极轴所在的直线对称的点的极坐标是( )A.(3,)B.(3,)C.(3,)D.(3,)解析:极坐标中的点(ρ,θ)关于极轴所在的直线对称的点的极坐标为(ρ,2kπ-θ)(k∈Z),利用这一规律即可.答案:B点评:一般地,在极坐标系中点(ρ,θ)关于极轴所在的直线对称的点的极坐标为(ρ,2kπ-θ)(k∈Z);点(ρ,θ)关于极点对
