2020高考数学刷题首秧专题突破练5立体几何的综合问题文含解析

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1、专题突破练(5)　立体几何的综合问题一、选择题1．已知直线a⊂平面α，直线b⊂平面β，则“a∥b”是“α∥β”的(　　)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件答案　D解析　“a∥b”不能得出“α∥β”，反之由“α∥β”也得不出“a∥b”．故选D．2．如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，A1A＝AB＝2，BC＝1，AC＝，若规定正视方向垂直平面ACC1A1，则此三棱柱的侧视图的面积为(　　)A．B．2C．4D．2答案　A解析　在△ABC中，AC2＝AB2＋BC2＝5，∴AB⊥BC．作BD⊥AC于D，则BD为侧视图的宽

2、，且BD＝＝，∴侧视图的面积为S＝2×＝．故选A．3．平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，既与AB共面也与CC1共面的棱的条数为(　　)A．3B．4C．5D．6答案　C解析　如图，既与AB共面也与CC1共面的棱有CD，BC，BB1，AA1，C1D1，共5条．故选C．4．在四边形ABCD中，AB＝AD＝CD＝1，BD＝，BD⊥CD．将四边形ABCD沿对角线BD折成四面体A′－BCD，使平面A′BD⊥平面BCD，则下列结论正确的是(　　)A．A′C⊥BDB．∠BA′C＝90°C．CA′与平面A′BD所成的角为30°D．四面体A′－BCD的体积为答案　B解析　∵AB＝A

3、D＝1，BD＝，∴AB⊥AD．∴A′B⊥A′D．∵平面A′BD⊥平面BCD，CD⊥BD，∴CD⊥平面A′BD，∴CD⊥A′B，∴A′B⊥平面A′CD，∴A′B⊥A′C，即∠BA′C＝90°．故选B．5．(2018·河南豫东、豫北十校测试)鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于古代汉族建筑中首创的榫卯结构，这种三维的拼插器具内部的凹凸部分(即榫卯结构)啮合，十分巧妙，原为木质结构，外观看是严丝合缝的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称．从外表上看，六根等长的正四棱柱体分成三组，经90度榫卯起来，若正四棱柱体的高为4，底面正方形的边长为1，则该鲁班锁的表面积为(　　)A．4

4、8B．60C．72D．84答案　B解析　复杂的图形表面积可以用三视图投影的方法计算求得；如图所示：投影面积为4×2＋1×2＝10，共有6个投影面积，所以该几何体的表面积为10×6＝60．故选B．6．如图所示，已知在多面体ABC－DEFG中，AB，AC，AD两两垂直，平面ABC∥平面DEFG，平面BEF∥平面ADGC，AB＝AD＝DG＝2，AC＝EF＝1，则该多面体的体积为(　　)A．2B．4C．6D．8答案　B解析　如图所示，将多面体补成棱长为2的正方体，那么显然所求的多面体的体积即为该正方体体积的一半，于是所求几何体的体积为V＝×23＝4．故选B．7．(2018·湖

5、北黄冈中学二模)一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是边长为2的等边三角形，俯视图是半圆(如图)．现有一只蚂蚁从点A出发沿该几何体的侧面环绕一周回到A点，则蚂蚁所经过路程的最小值为(　　)A．πB．＋C．－D．π＋2答案　B解析　由三视图可知，该几何体是半圆锥，其展开图如图所示，则依题意，点A，M的最短距离，即为线段AM．∵PA＝PB＝2，半圆锥的底面半圆的弧长为π，∴展开图中的∠BPM＝＝，∵∠APB＝，∴∠APM＝，∴在△APM中，根据余弦定理有，MA2＝22＋22－2×2×2cos＝8＋4＝(＋)2，∴MA＝＋，即蚂蚁所经过路程的最小值为＋，故选B．8．已知圆

6、锥的底面半径为R，高为3R，在它的所有内接圆柱中，表面积的最大值是(　　)A．22πR2B．πR2C．πR2D．πR2答案　B解析　如图所示，为组合体的轴截面，记BO1的长度为x，由相似三角形的比例关系，得＝，则PO1＝3x，圆柱的高为3R－3x，所以圆柱的表面积为S＝2πx2＋2πx·(3R－3x)＝－4πx2＋6πRx，则当x＝R时，S取最大值，Smax＝πR2．故选B．9．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E为正方形ABCD的两条对角线的交点，点F是棱AB的中点，则异面直线AC1与EF所成角的正切值为(　　)A．－B．－C．D．答案　D解析　在正方体

7、ABCD－A1B1C1D1中，依题意知，EF∥AD，所以异面直线AC1与EF所成角为∠C1AD．连接C1D，因为AD⊥平面C1CDD1，所以AD⊥DC1，设正方体的棱长为1，则tan∠C1AD＝＝＝，所以异面直线AC1与EF所成角的正切值为．故选D．10．(2018·河北唐山第一次摸底)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2AA1，则异面直线A1B与B1C所成角的余弦值为(　　)A．B．C．D．答案　B解析　在长方体ABCD－A1B1C1D1中，连接A1D，可得A1D∥B1C，所以异面直线A1B与B1C所成的角即为直线A1B与直线A1D