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时间:2020-08-26
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1、专题突破练(5)立体几何的综合问题一、选择题1.已知直线a⊂平面α,直线b⊂平面β,则“a∥b”是“α∥β”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件答案D解析“a∥b”不能得出“α∥β”,反之由“α∥β”也得不出“a∥b”.故选D.2.如图,三棱柱ABC-ABC中,AA⊥平面ABC,AA=AB=2,BC=1,AC=5,若规11111定正视方向垂直平面ACCA,则此三棱柱的侧视图的面积为()1145A.B.255C.4D.2答案A解析在△ABC中,AC2=AB2+B
2、C2=5,∴AB⊥BC.作BD⊥AC于D,则BD为侧视图的宽,2×1252545且BD==,∴侧视图的面积为S=2×=.故选A.55553.平行六面体ABCD-ABCD中,既与AB共面也与CC共面的棱的条数为()11111A.3B.4C.5D.6答案C解析如图,既与AB共面也与CC共面的棱有CD,BC,BB,AA,CD,共5条.故选11111C.4.在四边形ABCD中,AB=AD=CD=1,BD=2,BD⊥CD.将四边形ABCD沿对角线BD折成四面体A′-BCD,使平面A′BD⊥平面BCD,则下列结论
3、正确的是()A.A′C⊥BDB.∠BA′C=90°C.CA′与平面A′BD所成的角为30°1D.四面体A′-BCD的体积为3答案B解析∵AB=AD=1,BD=2,∴AB⊥AD.∴A′B⊥A′D.∵平面A′BD⊥平面BCD,CD⊥BD,∴CD⊥平面A′BD,∴CD⊥A′B,∴A′B⊥平面A′CD,∴A′B⊥A′C,即∠BA′C=90°.故选B.5.(2018·河南豫东、豫北十校测试)鲁班锁是中国传统的智力玩具,起源于古代汉族建筑中首创的榫卯结构,这种三维的拼插器具内部的凹凸部分(即榫卯结构)啮合,十分巧
4、妙,原为木质结构,外观看是严丝合缝的十字立方体,其上下、左右、前后完全对称.从外表上看,六根等长的正四棱柱体分成三组,经90度榫卯起来,若正四棱柱体的高为4,底面正方形的边长为1,则该鲁班锁的表面积为()A.48B.60C.72D.84答案B解析复杂的图形表面积可以用三视图投影的方法计算求得;如图所示:投影面积为4×2+1×2=10,共有6个投影面积,所以该几何体的表面积为10×6=60.故选B.6.如图所示,已知在多面体ABC-DEFG中,AB,AC,AD两两垂直,平面ABC∥平面DEFG,平面BE
5、F∥平面ADGC,AB=AD=DG=2,AC=EF=1,则该多面体的体积为()A.2B.4C.6D.8答案B解析如图所示,将多面体补成棱长为2的正方体,那么显然所求的多面体的体积即为1该正方体体积的一半,于是所求几何体的体积为V=×23=4.故选B.27.(2018·湖北黄冈中学二模)一个几何体的三视图如图所示,其中正视图是边长为2的等边三角形,俯视图是半圆(如图).现有一只蚂蚁从点A出发沿该几何体的侧面环绕一周回到A点,则蚂蚁所经过路程的最小值为()A.πB.6+2C.6-2D.π+2答案B解析由三
6、视图可知,该几何体是半圆锥,其展开图如图所示,则依题意,点A,M的最短距离,即为线段AM.∵PA=PB=2,半圆锥的底面半圆的弧长为π,∴展开图中的∠BPMπππ5π==,∵∠APB=,∴∠APM=,∴在△APM中,根据余弦定理有,MA2=22+22-PB2365π2×2×2cos=8+43=(6+2)2,∴MA=6+2,即蚂蚁所经过路程的最小值为66+2,故选B.8.已知圆锥的底面半径为R,高为3R,在它的所有内接圆柱中,表面积的最大值是()9A.22πR2B.πR2485C.πR2D.πR232答
7、案B解析如图所示,为组合体的轴截面,记BO的长度为x,由相似三角形的比例关系,1POx得1=,则PO=3x,圆柱的高为3R-3x,所以圆柱的表面积为S=2πx2+2πx·(3R-3x)3RR139=-4πx2+6πRx,则当x=R时,S取最大值,S=πR2.故选B.4max49.如图,在正方体ABCD-ABCD中,点E为正方形ABCD的两条对角线的交点,点F1111是棱AB的中点,则异面直线AC与EF所成角的正切值为()12A.-2B.-22C.D.22答案D解析在正方体ABCD-ABCD中,依题意知
8、,EF∥AD,所以异面直线AC与EF所成角11111为∠CAD.连接CD,因为AD⊥平面CCDD,所以AD⊥DC,设正方体的棱长为1,则tan∠11111CD2CAD=1==2,所以异面直线AC与EF所成角的正切值为2.故选D.1AD1110.(2018·河北唐山第一次摸底)在长方体ABCD-ABCD中,AB=BC=2AA,则异面11111直线AB与BC所成角的余弦值为()11101515A.B.C.D.5555答案B解析在长方体ABCD-ABCD中,连
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