第六讲导数与导数的运用（解析）

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1、第六讲导数与导数的运用知识回顾1•常用的导数公式:⑴C=0(C为常数)；⑵(xny=nxfl~e(sinx}=cosx；(4)(cosx)f=-sinx；⑸(exy=ex；^)(axy=axa；2.导数的运算法则：(7)(lnx)*=-；⑻(log“x)'=-logweXX③u'v-uV(心0).变式1・函数尹=_+在(*，—2)处的切线方程是()・A.y=4xC.y=4x+4B.y=4x~4D.y=2x~4®(w±v/=w'±v'；②(wv)*=u'v+uv':3.导数应用的步骤：①求导数/(X);②求导数/'(x)=0的根；(确定极值点与单调区间)

2、③列表判断；(用根判断.厂(兀)在方程根左右的值的符号，确定/(兀)在这个根处収极大值还是取极小值)。④比较确定最值(将/(兀)的各极值与/⑺)、/(b)比綾，其屮最人的一个是最人值，最小的一个是最小值)。题型一关于切线问题例1.曲线疋在点(1,1)处的切线方程为・解析求出y=2x-x3在(1,1)处的斜率为-1,故方程为x+厂2=0.例2.(创新拓展)己知抛物线y=ax2+bx+c通过点尸(1,1),0(2,—1),口在点Q处与直线尹=x—3和切，求实数°、b、c的值.解•・•曲线y=ax2+bx+c^P(,1)点，:.a+b+c=,①・・A=2ax+b

3、,:.y,x=2=4a+b9：.4a+b=l.②又曲线过0(2,—1)点，.•・4a+2b+c=—1,③联立①②③解得＜7=3,/)=—11,c=9.lim11+—x+AxxAx=lim△rr^O△xx(x+Ax)Ax⑴(n(jJ=4,•**切线方程是丿+2=4(兀-引,#y=4x-4.变式2.若曲线y=2x2~4x+p与直线y=l相切，则p的值为.解析设切点为(xo，1),/(xo)=4x()-4,由题意知，4xo-4=0,x()=即切点为(1,1),所以l=2-4+p,Ap=3.题型二、导数与函数单调性例3.函数y=^x2—x的单调减区间是().A.

4、(0,1)B.(0,1)U(—g,-1)C・(―°°,1)D.(―°°,+°°)解析*•>=

5、x2-Inx的定义域为(0,+°°),/./=x-p令”v0,即x-^<0,解得：00,/.0

6、3.函数X^)=xlnx(x>0)的单调递增区间是.11(\解析由/(x)=lnx+x--=lnx+1>0,解得兀>：.故./(x)的单调增区间是匚，+00.变式4.已知函数./(x)=»+ax+8的单调递减区间为(一5,5),求函数./(x)的递增区间.解f(x)=3^+a.・・•(一5,5)是函数p=/(兀)的单调递减区间，则一5,5是方程3”+g=0的根,・•・a=_75・此时/⑴=3x2-75,令/(x)>0,则3x2-75>0,解得x>5或x<—5,・・・函数y=/(x)的单调递增区间为(一8,—5)和(5,+°°).题型三、导数与函数极值、例5.

7、已知函数y=ax3+hx2f当x=l时函数有极大值3,(1)求a,b的值;⑵求函数y的极小值.解()yf=3ax2+2bxf当兀=1时，y,=3a+2b=0f乂y=a+b=3,即3二2；0,解；6,经兀=］是极大值点，符合题意，故°,鸟a+b=3,［b=9.的值分别为一6,9.(2>=-6x3+9x2,y=-18x2+18x,令尹'=0,得x=0或x=l.・••当x=0时，函数尹取得极小值0.变式5・函数—6x+a的极大值为，极小值为・解析=3x2-6,令y=0,得工当x<-寸i或X〉也时,y>0;当-V2

8、4迈，在x=迈时取得极小值a~4yj2.例6.求函数,Ax)=x5+5x4+5x3+1在区间［一1,4］上的最大值与最小值.解/(x)=5x4+20x3+15x2=5x2(x+3)(兀+1),由/(x)=0得兀=0或x=~l或3(舍)，列表：X-1(—1，0)0(0,4)4/(X)0+0+012625乂/(0)=1,/(—1)=0,右端点处/(4)=2625,・•・函数j；=x5+5x4+5x3+1在区间［一1,4］上的最大值为2625,最小值为0.变式6・函数.心)=吾齐，xG[-2,2]的最大值是,最小值是.丄厂4(x2+1)-2x・4x-4x2+4解析—

9、(”+1)2—=(”+1)2,令”=0